河北省大名县一中2018-2019学年高二（清北班）上学期12月半月考数学（理）试卷

理 科 数 学周测试题 2018.12.28一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数等于（ ）ABCD2已知集合，则（ ）ABCD3函数的图象是（ ）AB CD4已知两个单位向量和夹角为，则向量在向量方向上的投影为（ ）ABCD5已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为（ ）ABCD6在中，则角等于（ ）A或BCD7学校就如程序中的循环体，送走一届，又会招来一级。老师们目送着大家远去，渐行渐远执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的结果为（ ）A2B3C4D58从装有3个白球，4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球，1个红球的概率是（ ）ABCD9在长方体中，与所成的角为，则（ ）AB3CD10将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图像，若在上为增函数，则的最大值为（ ）A1B2C3D411函数对任意的实数都有，若的图像关于对称，且，则（ ）A0B2C3D412设，分别为椭圆的右焦点和上顶点，为坐标原点，是直线与椭圆在第一象限内的交点，若，则椭圆的离心率是（ ）ABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13曲线在点处的切线方程为_14若变量，满足约束条件，则的取值范围是_15已知，则_16四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，若四棱锥的体积取值范围为，则该四棱锥外接球表面积的取值范围是_三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（12分）设为数列的前项和，已知，（1）证明：为等比数列；（2）求的通项公式，并判断，是否成等差数列？18（12分）某体育公司对最近6个月内的市场占有率进行了统计，结果如表：（1）可用线性回归模型拟合与之间的关系吗？如果能，请求出关于的线性回归方程，如果不能，请说明理由；（2）公司决定再采购，两款车扩大市场，两款车各100辆的资料如表：平均每辆车每年可为公司带来收入500元，不考虑采购成本之外的其他成本，假设每辆车的使用寿命都是整数年，用每辆车使用寿命的频率作为概率，以每辆车产生利润的期望值作为决策依据，应选择采购哪款车型？参考数据：，参考公式：相关系数；回归直线方程，其中，19（12分）如图，在四棱锥中，底面，点为棱的中点（1）证明：；（2）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值20（12分）已知的直角顶点在轴上，点，为斜边的中点，且平行于轴（1）求点的轨迹方程；（2）设点的轨迹为曲线，直线与的另一个交点为以为直径的圆交轴于、，记此圆的圆心为，求的最大值21（12分）已知函数（1）若，证明：当时，；（2）若在有两个零点，求的取值范围22.已知函数（1）求不等式的解集；（2）关于的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围理 科 数 学周测 答 案 2018.12.28一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1【答案】C【解析】，故选C2【答案】C【解析】集合，故选C3【答案】B【解析】由题得，所以函数是偶函数，所以图像关于y轴对称，所以排除A，C由题得，所以D错误，故答案为B4【答案】D【解析】，则向量在向量方向上的投影为：故选D5【答案】D【解析】双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，可得，解得，则双曲线的标准方程是故选D6【答案】A【解析】，由正弦定理得：则，又，或故选A7【答案】C【解析】输入，；，；，；，结束运算，输出，故选C8【答案】C【解析】由题得恰好是2个白球1个红球的概率为故答案为C9【答案】D【解析】如图所示，连接，是异面直线与所成的角，即，在中，在中，有，即故选D10【答案】B【解析】函数，的图象向左平移个单位，得的图象，函数；又在上为增函数，即，解得，所以的最大值为2故选B11【答案】B【解析】因为的图像关于对称，所以的图像关于对称，即为偶函数，因为，所以，所以，因此，故选B12【答案】A【解析】根据，由平面向量加法法则，则有为平行四边形的对角线，故，联立椭圆、直线方程，可得，则 ， ， 可得，故选A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13【答案】【解析】的导数，则在处的切线斜率为，切点为，则在处的切线方程为，即为故答案为14【答案】【解析】作出不等式组对应的平面区域如图所示阴影部分；由得，即直线的截距最大，也最大；平移直线，可得直线经过点时，截距最大，此时最大，即；经过点时，截距最小，由，得，即，此时最小，为；即的取值范围是，故答案为15【答案】【解析】，则，解得故答案为16【答案】【解析】四棱锥中，可得：；平面平面平面，过作于，则平面，设，故，所以，在中，则有，所以的外接圆半径，将该四棱锥补成一个以为一个底面的直三棱柱，得外接球的半径，所以故答案为三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）证明：，是首项为2，公比为2的等比数列（2）由（1）知，即，成等差数列18【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1），所以两变量之间具有较强的线性相关关系，故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系，又，回归直线方程为（2）用频率估计概率，款车的利润的分布列为：（元）款车的利润的分布列为：（元）以每辆车产生利润俄期望值为决策依据，故应选择款车型19【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）依题意，以点为原点，以为轴建立空间直角坐标系如图，可得，由为棱的中点，得向量，故，（2），由点在棱上，设，故，由，得，因此，即，设为平面的法向量，则，即，不妨令，可得为平面的一个法向量取平面的法向量，则，所以二面角的余弦值为20【答案】（1）；（2）【解析】（1）设点的坐标为，则的中点的坐标为，点的坐标为，由，得，即，经检验，当点运动至原点时，与重合，不合题意舍去所以轨迹的方程为（2）依题意，可知直线不与轴重合，设直线的方程为，点、的坐标分别为、，圆心的坐标为由，可得，圆的半径过圆心作于点，则在中，当，即垂直于轴时，取得最小值为，取得最大值为，所以的最大值为21【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）证明：当时，函数则，令，则，令，得当时，当时，在单调递增，（2）解：在有两个零点方程在有两个根，在有两个根，即函数与的图像在有两个交点，当时，在递增当时，在递增所以最小值为，当时，当时，在有两个零点时，的取值范围是22.【答案】（1）；（2）【解析】（1），当时，不等式可化为，解得，所以；当，不等式可化为，解得，无解；当时，不等式可化为，解得，所以综上所述，（2）因为，且的解集不是空集，所以，即的取值范围是