1987-2019年考研数学一历年真题

1987年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)当=_时,函数取得极小值.(2)由曲线与两直线及所围成的平面图形的面积是_.(3)与两直线及都平行且过原点的平面方程为_ .(4)设为取正向的圆周则曲线积分= _.(5)已知三维向量空间的基底为则向量在此基底下的坐标是_.二、(本题满分8分)求正的常数与使等式成立.三、(本题满分7分)(1)设、为连续可微函数求(2)设矩阵和满足关系式其中求矩阵四、(本题满分8分)求微分方程的通解,其中常数 五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设则在处(A)的导数存在,且(B)取得极大值(C)取得极小值 (D)的导数不存在(2)设为已知连续函数其中则的值(A)依赖于和(B)依赖于、和(C)依赖于、,不依赖于(D)依赖于,不依赖于(3)设常数则级数(A)发散 (B)绝对收敛 (C)条件收敛(D)散敛性与的取值有关 (4)设为阶方阵，且的行列式而是的伴随矩阵，则等于(A)(B)(C) (D) 六、（本题满分10分）求幂级数的收敛域，并求其和函数. 七、（本题满分10分）求曲面积分其中是由曲线绕轴旋转一周而成的曲面,其法向量与轴正向的夹角恒大于 八、（本题满分10分）设函数在闭区间上可微,对于上的每一个函数的值都在开区间内,且1,证明在内有且仅有一个使得 九、（本题满分8分）问为何值时,现线性方程组有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解. 十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设在一次实验中,事件发生的概率为现进行次独立试验,则至少发生一次的概率为_;而事件至多发生一次的概率为_.(2)有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球, 第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为_.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为_.(3)已知连续随机变量的概率密度函数为则的数学期望为_,的方差为_. 十一、（本题满分6分）设随机变量相互独立,其概率密度函数分别为 , ,求的概率密度函数. 1988年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求幂级数的收敛域.(2)设且,求及其定义域.(3)设为曲面的外侧,计算曲面积分二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上)(1)若则= _.(2)设连续且则=_.(3)设周期为2的周期函数,它在区间上定义为 ,则的傅里叶级数在处收敛于_.(4)设4阶矩阵其中均为4维列向量,且已知行列式则行列式= _.三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设可导且则时在处的微分是(A)与等价的无穷小(B)与同阶的无穷小(C)比低阶的无穷小(D)比高阶的无穷小(2)设是方程的一个解且则函数在点处(A)取得极大值 (B)取得极小值 (C)某邻域内单调增加(D)某邻域内单调减少(3)设空间区域则:(A) (B)(C)(D) (4)设幂级数在处收敛,则此级数在处(A)条件收敛(B)绝对收敛(C)发散(D)收敛性不能确定 (5)维向量组线性无关的充要条件是(A)存在一组不全为零的数使(B)中任意两个向量均线性无关(C)中存在一个向量不能用其余向量线性表示(D)中存在一个向量都不能用其余向量线性表示 四、(本题满分6分)设其中函数、具有二阶连续导数,求 五、(本题满分8分)设函数满足微分方程其图形在点处的切线与曲线在该点处的切线重合,求函数六、（本题满分9分）设位于点的质点对质点的引力大小为为常数为质点与之间的距离),质点沿直线自运动到求在此运动过程中质点对质点的引力所作的功.七、（本题满分6分）已知其中求八、（本题满分8分）已知矩阵与相似.(1)求与(2)求一个满足的可逆阵 九、（本题满分9分）设函数在区间上连续,且在内有证明:在内存在唯一的使曲线与两直线所围平面图形面积是曲线与两直线所围平面图形面积的3倍. 十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设在三次独立试验中,事件出现的概率相等,若已知至少出现一次的概率等于则事件在一次试验中出现的概率是_.(2)若在区间内任取两个数,则事件”两数之和小于”的概率为_.(3)设随机变量服从均值为10,均方差为0.02的正态分布,已知则落在区间内的概率为_. 十一、（本题满分6分）设随机变量的概率密度函数为求随机变量的概率密度函数1989年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)已知则= _.(2)设是连续函数,且则=_.(3)设平面曲线为下半圆周则曲线积分=_.(4)向量场在点处的散度=_.(5)设矩阵则矩阵=_.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)当时,曲线(A)有且仅有水平渐近线(B)有且仅有铅直渐近线(C)既有水平渐近线,又有铅直渐近线(D)既无水平渐近线,又无铅直渐近线(2)已知曲面上点处的切平面平行于平面则点的坐标是(A) (B) (C)(D) (3)设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数,则该非齐次方程的通解是(A)(B)(C)(D) (4)设函数而其中则等于(A)(B) (C)(D) (5)设是阶矩阵,且的行列式则中(A)必有一列元素全为0(B)必有两列元素对应成比例(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合(D)任一列向量是其余列向量的线性组合三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)设其中函数二阶可导具有连续二阶偏导数,求 (2)设曲线积分与路径无关,其中具有连续的导数,且计算的值. (3)计算三重积分其中是由曲面与所围成的区域. 四、(本题满分6分)将函数展为的幂级数. 五、(本题满分7分)设其中为连续函数,求 六、（本题满分7分）证明方程在区间内有且仅有两个不同实根. 七、（本题满分6分） 问为何值时,线性方程组有解,并求出解的一般形式. 八、（本题满分8分）假设为阶可逆矩阵的一个特征值,证明(1)为的特征值.(2)为的伴随矩阵的特征值. 九、（本题满分9分）设半径为的球面的球心在定球面上,问当为何值时,球面在定球面内部的那部分的面积最大? 十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知随机事件的概率随机事件的概率及条件概率则和事件的概率=_.(2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为_.(3)若随机变量在上服从均匀分布,则方程有实根的概率是_. 十一、（本题满分6分）设随机变量与独立,且服从均值为1、标准差(均方差)为的正态分布,而服从标准正态分布.试求随机变量的概率密度函数.1990年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)过点且与直线垂直的平面方程是_. (2)设为非零常数,则=_.(3)设函数 ,则=_.(4)积分的值等于_.(5)已知向量组则该向量组的秩是_. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设是连续函数,且则等于(A)(B)(C)(D) (2)已知函数具有任意阶导数,且则当为大于2的正整数时的阶导数是(A) (B) (C)(D) (3)设为常数,则级数(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)收敛性与的取值有关 (4)已知在的某个邻域内连续,且则在点处(A)不可导(B)可导,且(C)取得极大值(D)取得极小值 (5)已知、是非齐次线性方程组的两个不同的解、是对应其次线性方程组的基础解析、为任意常数,则方程组的通解(一般解)必是(A)(B) (C)(D) 三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求(2)设其中具有连续的二阶偏导数,求(3)求微分方程的通解(一般解). 四、(本题满分6分)求幂级数的收敛域,并求其和函数. 五、(本题满分8分)求曲面积分其中是球面外侧在的部分. 六、（本题满分7分）设不恒为常数的函数在闭区间上连续,在开区间内可导,且证明在内至少存在一点使得 七、（本题满分6分）设四阶矩阵且矩阵满足关系式其中为四阶单位矩阵表示的逆矩阵表示的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵 八、（本题满分8分）求一个正交变换化二次型成标准型. 九、（本题满分8分）质点沿着以为直径的半圆周,从点运动到点的过程中受变力作用(见图).的大小等于点与原点之间的距离,其方向垂直于线段且与轴正向的夹角小于求变力对质点所作的功. 十、