2015-2019年（近5年）研究生入学考试（考研）数学一真题和答案详解

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题（1）设函数在连续，其2阶导函数的图形如下图所示，则曲线的拐点个数为（）（A）0 （B）1 (C) 2 ( D) 3（4）设D是第一象限中曲线与直线围成的平面区域，函数在D上连续，则（A）（B）(C)( D) （5）设矩阵，若集合，则线性方程组有无穷多个解的充分必要条件为（A）（B）（C）（D）（6）设二次型在正交变换下的标准形为，其中，若，则在正交变换下的标准形为（A）（B）（C）（D）（7）若为任意两个随机事件，则（A）（B）（C）（D）二、填空题（9）（10）（11）若函数由方程确定，则.（12）设是由平面与三个坐标平面所围成的空间区域，则（13）n阶行列式（14）设二维随机变量服从正态分布，则.三、解答题（15）设函数，若与在是等价无穷小，求，值。（16）设函数在定义域上的导数大于零，若对任意的，曲线在点处的切线与直线及轴所围成的区域的面积为4，且求的表达式。（17）已知函数，曲线，求在曲线上的最大方向导数.（18）（本题满分10分）（）设函数可导，利用导数定义证明（）设函数可导，写出的求导公式.（19）（本题满分10分）已知曲线的方程为起点为，终点为，计算曲线积分（20）（本题满分11分）设向量组是3维向量空间的一个基，。（）证明向量组是的一个基；（）当k为何值时，存在非零向量在基与基下的坐标相同，并求出所有的。（21）（本题满分11分）设矩阵相似于矩阵.（）求的值.（）求可逆矩阵，使得为对角阵.（22）（本题满分11分）设随机变量的概率密度为对进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记为观测次数.（）求的概率分布；（）求.（23）（本题满分11分）设总体的概率密度为其中为未知参数，为来自该总体的简单随机样本.（）求的矩估计.（）求的最大似然估计.2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一答案解析一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)【答案】（C）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。因此，由的图形可得，曲线存在两个拐点.故选（C）.(2【答案】（A）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.【解析】由题意可知，、为二阶常系数齐次微分方程的解，所以2,1为特征方程的根，从而，从而原方程变为，再将特解代入得.故选（A）(3) 【答案】（B）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质.【解析】因为条件收敛，即为幂级数的条件收敛点，所以的收敛半径为1，收敛区间为.而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故的收敛区间还是.因而与依次为幂级数的收敛点，发散点.故选（B）.(4) 【答案】（B）【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分【解析】先画出D的图形，所以，故选（B）(5) 【答案】D【解析】，由，故或，同时或。故选（D）(6) 【答案】(A)【解析】由，故.且.所以。选（A） (7) 【答案】(C)【解析】由于，按概率的基本性质，我们有且，从而，选(C) .(8) 【答案】(D)【解析】 ，选(D) .二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9) 【答案】【分析】此题考查型未定式极限，可直接用洛必达法则，也可以用等价无穷小替换.【解析】方法一：方法二：(10) 【答案】【分析】此题考查定积分的计算，需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简. 【解析】 (11)若函数由方程确定，则【答案】【分析】此题考查隐函数求导.【解析】令，则又当时，即.所以，因而(12)设是由平面与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则【答案】【分析】此题考查三重积分的计算，可直接计算，也可以利用轮换对称性化简后再计算.【解析】由轮换对称性，得，其中为平面截空间区域所得的截面，其面积为.所以(13) 阶行列式【答案】【解析】按第一行展开得(14)设二维随机变量服从正态分布，则【答案】 【解析】由题设知，而且相互独立，从而 .三、解答题：1523小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分) 设函数，若与在是等价无穷小，求的值.【答案】【解析】法一：原式即法二：因为分子的极限为0，则，分子的极限为0，(16)(本题满分10分) 设函数在定义域I上的导数大于零，若对任意的，由线在点处的切线与直线及轴所围成区域的面积恒为4，且，求的表达式.【答案】.【解析】设在点处的切线方程为：令，得到，故由题意，即，可以转化为一阶微分方程，即，可分离变量得到通解为：，已知，得到，因此；即.(17)(本题满分10分)已知函数，曲线C：，求在曲线C上的最大方向导数.【答案】3【解析】因为沿着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模.，故，模为，此题目转化为对函数在约束条件下的最大值.即为条件极值问题.为了计算简单，可以转化为对在约束条件下的最大值.构造函数：，得到.所以最大值为.(18)(本题满分 10 分)（I）设函数可导，利用导数定义证明（II）设函数可导，写出的求导公式.【解析】（I） （II）由题意得 (19)(本题满分 10 分) 已知曲线L的方程为起点为，终点为，计算曲线积分.【答案】【解析】由题意假设参数方程，(20) (本题满11分) 设向量组内的一个基，.（I）证明向量组为的一个基;（II）当k为何值时，存在非0向量在基与基下的坐标相同，并求所有的.【答案】【解析】(I)证明： 故为的一个基.（II）由题意知，即即即，得k=0(21) (本题满分11 分) 设矩阵相似于矩阵.(I) 求的值；（II）求可逆矩阵，使为对角矩阵.【解析】(I) (II)的特征值时的基础解系为时的基础解系为A的特征值令，(22) (本题满分11 分) 设随机变量的概率密度为对 进行独立重复的观测,直到2个大于3的观测值出现的停止.记为观测次数.(I)求的概率分布;(II)求 【解析】(I) 记为观测值大于3的概率，则， 从而， 为的概率分布； (II)记，则，所以，从而.(23) (本题满分 11 分)设总体X的概率密度为：其中为未知参数，为来自该总体的简单随机样本.(I)求的矩估计量.(II)求的最大似然估计量.【解析】(I) ，令，即，解得为的矩估计量； (II) 似然函数，当时，则.从而，关于单调增加，所以为的最大似然估计量.2016年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）若反常积分收敛，则（ ）（2）已知函数，则的一个原函数是（ ）（3）若是微分方程的两个解，则（ ）（4）已知函数，则（ ）（A）是的第一类间断点 （B）是的第二类间断点（C）在处连续但不可导 （D）在处可导（5）设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是（ ）（A）与相似 （B）与相似 （C）与相似 （D）与相似（6）设二次型，则在空间直角坐标下表示的二次曲面为（ ）（A）单叶双曲面 （B）双叶双曲面 （C）椭球面 （C）柱面（7）设随机变量，记，则（ ）（A）随着的增加而增加 （B）随着的增加而增加（C）随着的增加而减少 （D）随着的增加而减少（8）随机试验有三种两两不相容的结果，且三种结果发生的概率均为，将试验独立重复做2次，表示2次试验中结果发生的次数，表示2次试验中结果发生的次数，则与的相关系数为（ ）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）（10）向量场的旋度（11）设函数可微，由方程确定，则（12）设函数，且，则（13）行列式_.（14）设为来自总体的简单随机样本，样本均值，参数的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，则的置信度为0.95的双侧置信区间为_.三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）已知平面区域，计算二重积分.（16）（本题满分10分）设函数满足方程其中.证明：反常积分收敛；若求的值.（17）（本题满分10分）设函数满足且是从点到点的光滑曲线，计算曲线积分，并求的最小值（18）设有界区域由平面与三个坐标平面围成，为整个表面的外侧，计算曲面积分（19）（本题满分10分）已知函数可导，且，设数列满足，证明：（I）级数绝对收敛；（II）存在，且.（20）（本题满分11分）设矩阵当为何值时，方程无解、有唯一解、有无穷多解？（21）（本题满分11分）已知矩阵（I）求（II）设3阶矩阵满足，记将分别表示为的线性组合。（22）（本题满分11分）设二维随机变量在区域上服从均匀分布，令（I）写出的概率密度；（II）问与是否相互独立？并说明理由；（III）求的分布函数.（23）设总体的概率密度为，其中为未知参数，为来自总体的简单随机样本，令。（1）求的概率密度（2）确定，使得为的无偏估计2016年考研数学一答案详细解析一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）【答案】（C）【解析】在（时收敛），可知，而此时不影响同理，（时收敛），而此时不影响（2）【答案】