2018版高考数学一轮复习 12.1几何证明选讲课件
,课标版 理数 § 12.1 几何证明选讲,1.平行线截割定理 (1)平行线等分线段定理及其推论 (i)定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段 相等 ,那么在其,知识梳理,他直线上截得的线段也 相等 . (ii)推论1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边. (iii)推论2:经过梯形一腰的 中点 ,且与底边 平行 的直线平分 另一腰.,(2)平行线分线段成比例定理及其推论 (i)定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段 成比例 . (ii)推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的 对应线段 成比例 . 2.相似三角形 (1)相似三角形的判定,(i)判定定理 a. 两角 对应相等的两个三角形相似. b.两边对应成比例且夹角 相等 的两个三角形相似. c.三边 对应成比例 的两个三角形相似. (ii)预备定理:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相 交,所构成的三角形与 原三角形 相似. (iii)直角三角形相似的特殊判定 斜边与一条 直角边 对应成比例的两个直角三角形相似. (2)相似三角形的性质 相似三角形的对应线段的比等于 相似比 ,面积比等于 相似比,的平方 . (3)直角三角形的射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上 射影 的 比例中 项 ;两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的 比例中项 . 3.圆周角定理 (1)圆周角:顶点在 圆周上 且两边都与圆相交的角. (2)圆周角定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 一 半 . (3)圆周角定理的推论 (i)同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧,也 相等 . (ii)半圆(或直径)所对的圆周角是 直角 ;90°的圆周角所对的弦是 直径 . 4.圆的切线 (1)直线与圆的位置关系,(2)切线的性质及判定定理 (i)切线的性质定理:圆的切线 垂直于 经过 切点 的半径. (ii)切线的判定定理: 经过半径的 外端 并且 垂直 于这条半径的 直线 是圆 的切线. (3)切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长 相等 , 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. 5.弦切角 (1)弦切角:顶点在 圆 上,一边与圆 相切 、另一边与圆相交 的角.,(2)弦切角定理及推论 (i)定理:弦切角等于它所夹的弧所对的 圆周角 . (ii)推论:同弧或等弧所对的弦切角 相等 ,同弧或等弧所对的弦切 角与圆周角 相等 . 6.与圆有关的比例线段,7.圆内接四边形 (1)圆内接四边形性质定理: (i)圆的内接四边形的对角 互补 . (ii)圆内接四边形的外角等于它的内角的对角. (2)圆内接四边形判定定理及推论 (i)定理:如果一个四边形的对角 互补 ,那么这个四边形的四个顶点 共圆. (ii)推论:如果四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的 四个顶点共圆.,1.如图,PAB,PC分别是圆O的割线和切线(C为切点),若PA=AB=3,则PC的长 为 ( ) A.6 B.6 C.3 D.3 答案 C 由切割线定理得PC2=PA·PB=3×6=18,故PC=3 ,故选C.,2.如图,从圆O外一点P引圆O的切线PA和割线PBC,已知PA=2 ,PC=4,圆 心O到BC的距离为 ,则圆O的半径为 . 答案 2 解析 取BC的中点M,连结OM,OB,则OMBC.由切割线定理知PA2=PB· PC,故PB=2,所以BC=2.因为在RtOMB中,BM=1,OM= ,所以OB=2.,3.如图,已知PA是圆O的切线,切点为A,PBC为圆O的割线,且过圆心O,PA= ,PB=1,则圆O的半径r= ,C= .,解析 PA为切线,PBC为割线,则有PA2=PB·PC,即3=1×(1+2r),则r=1. 连结OA,则OAPA,又OA=1,OP=2,则AOB=60°.因为OA=OC,所以C= OAC=30°.,答案 1;30°,4.如图,PA与圆O相切于A,PCB为圆O的割线,并且不过圆心O,已知BPA=3 0°,PA=2 ,PC=1,则圆O的半径等于 .,答案 7 解析 由PA2=PC·PB,得PB=12,连结OA,交PB于D,并反向延长OA,交圆O 于点E.在直角三角形APD中可以求得PD=4,DA=2,故CD=3,DB=8.记圆O的 半径为R,由于ED·DA=CD·DB,所以(2R-2)×2=3×8,解得R=7.,5.如图,在ABC中,D是AC的中点,E是BD的中点,延长AE交BC于F,则 = .,答案 解析 过点E作BC的平行线交AC于点M,可知M为DC的中点,故 = , = , = , = .,典例1 (2014广东,15,5分)如图,在平行四边形ABCD中,点E在AB上且EB=2 AE,AC与DE交于点F,则 = . 答案 9 解析 依题意得CDFAEF,由EB=2AE可知AECD=13.故 =9.,典例题组,相似三角形的判定及性质,判定两个三角形相似的几种方法:两角对应相等,两三角形相似;两边 对应成比例且夹角相等,两三角形相似;三边对应成比例,两三角形相似.,1-1 如图所示,在ABC中,AD为BC边上的中线,F为AB上任意一点,CF交 AD于点E.求证:AE·BF=2DE·AF.,在BCF中,D是BC的中点,DNBF,DN= BF. DNAF,AFEDNE, = . 又DN= BF, = ,即AE·BF=2DE·AF.,证明 过点D作AB的平行线DM交AC于点M,交FC于点N.,典例2 (2014课标,22,10分)如图,四边形ABCD是O的内接四边形,AB 的延长线与DC的延长线交于点E,且CB=CE. (1)证明:D=E; (2)设AD不是O的直径,AD的中点为M,且MB=MC,证明:ADE为等边三 角形.,有关圆的定理的应用,解析 (1)证明:由题设知A,B,C,D四点共圆,所以D=CBE. 由已知得CBE=E,故D=E. (2)设BC的中点为N,连结MN,则由MB=MC知MNBC,故O在直线MN上. 又AD不是O的直径,M为AD的中点,故OMAD,即MNAD. 所以ADBC,故A=CBE. 又CBE=E,故A=E.由(1)知, D=E,所以ADE为等边三角形.,相交弦定理、切割线定理主要是用于与圆有关的比例线段的计算与证明. 解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关 知识的综合应用.,2-1 如图,已知AP是O的切线,P为切点,AC是O的割线,与O交于B、 C两点,圆心O在PAC的内部,点M是BC的中点. (1)证明:A,P,O,M四点共圆; (2)求OAM+APM的大小.,解析 (1)证明:连结OP、OM. 因为AP与O相切于点P,所以OPAP. 因为M是O的弦BC的中点,所以OMBC.于是OPA+OMA=180°.故四 边形APOM的对角互补,所以A,P,O,M四点共圆. (2)由(1)得A,P,O,M四点共圆,所以OAM=OPM.又由OPAP,可知,OPM+APM=90°,所以OAM+APM=90°.,
