湖南省茶陵县第三中学2019届高三第二次月考文科数学试题

茶陵三中2019届高三第2次月考文科数学试题时量120分钟 总分150分一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集为，集合，则（ ）A B C D2.已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则=（ ）A B C D3.若，且为第三象限角，则的值为（ ）A B C D4. 已知是偶函数，当时，单调递减，设，则的大小关系是 （ ）A B C D5.已知是相异两平面，是相异两直线，则下列命题中错误的是（ ）来源:学科网ZXXKA若，则 B若，则 C.若，则 D若，则6. 陀螺是汉族民间最早的娱乐工具之一，也作陀罗，闽南语称作“干乐”，北方叫作“冰尜”或“打老牛”.陀螺的主体形状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成，从前的制作材料多为木头，现代多为塑料或铁制，玩耍时可用绳子缠绕用力抽绳，使其直立旋转；或利用发条的弹力使其旋转，下图画出的是某陀螺模型的三视图，已知网络纸中小正方形的边长为1，则该陀螺模型的体积为（ ）A B C. D 7.将函数的图象向右平移个单位后，所得图象对应的函数为（ ）A B C. D8.设，满足约束条件若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为（ ）A或B或C或D或2 9.已知正方形如图所示，其中相较于点，分别为，的中点，阴影部分中的两个圆分别为与的内切圆，若往正方形中随机投掷一点，则该点落在图中阴影区域内的概率为（ ）A B C. D10.已知双曲线的方程为，过右焦点作圆的两条切线，切点分别为为右顶点，若，则该双曲线的离心率为（ ）A B C. D11.在中，是边的中点，是的中点，若，且的面积为，则的最小值为（ ）A B C. D12.已知函数与函数的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为（ ）ABCD 二、填空题（每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知幂函数的图象关于轴对称，且在区间上为减函数，则的值为 14.抛物线的焦点为，直线与该抛物线交于两点（为坐标原点），与抛物线的准线交于点，直线与抛物线的另一交点为，则 15.在中，是边上的一点，若为锐角，的面积为，则 16.奇函数是上单调函数，有唯一零点，则的取值集合为 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在正项等差数列中，其前项和为.（1）求；（2）设数列的前n项的和为证明：.18. 我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程.某市有户籍的人口共万，其中老人（年龄岁及以上）人数约有万，为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布被制作成如下图表：（1）若从样本中的不能自理的老人中采取分层抽样的方法再抽取人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？（2）估算该市岁以上长者占全市户籍人口的百分比；来源:学科网（3）政府计划为岁及以上长者或生活不能自理的老人每人购买元/年的医疗保险，为其余老人每人购买元/年的医疗保险，不可重复享受，试估计政府执行此计划的年度预算. 19.如图，在三棱台中，分别是，的中点，平面，且.（1）证明：平面；（2）若，为等边三角形，求四棱锥的体积20已知椭圆： 的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线： 与椭圆相交于， 两点，在轴上是否存在点，使直线与的斜率之和为定值？若存在，求出点坐标及该定值，若不存在，试说明理由21.已知函数.（1）当时，求在点处的切线方程；（2）当时，求函数的单调递增区间；（3）当时，证明：（其中为自然对数的底数）22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为，以为极点，轴的半正轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线和直线的极坐标方程；（2）若直线与曲线交于，两点，求.2019届高三第2次月考文科数学试题答案 1、 选择题：1-5 ACBCD 6-10 BDACC 11-12 AC二、填空题13.2 14. 15.4 16.3、 解答题 17.（1） （2） 综上： 18.（1）数据整理如下表： 健康状况 健康 基本健康 不健康尚能自理 不能自理 80岁及以上 20 45 20来源:学科网 15 80岁以下来源:学科网 200 225 50 25从图表中知不能自理的80岁及以上长者占比为：=故抽取16人中不能自理的80岁及以上长者人数为6人，不能自理的80岁以下长者人数为10人 （2） 在600人中80岁及以上长者在老人中占比为：=所以80岁及以上长者有：=11万人用样本估计总体，80岁及以上长者占户籍人口的百分比为：=2.75% （3）先计算抽样的600人的预算，其中享受1000元/年的人数为14+25+20+45+20=125人，享受600元/年的人数为600125=475人，预算为：125×1000+475×600=41×104元用样本估计总体，全市老人的总预算为×41×104=4.51×108元:所以政府执行此计划的年度预算约为4.51亿元 19.（1）证明：设与相交于，连接，由题意可知，所以四边形是平行四边形，从而是的中点来源:Zxxk.Com又是的中点，所以又平面，平面，所以平面（2）解：易证，是三棱柱，又因为平面，所以是此三棱柱的高，同理也是三棱锥的高因为，为等边三角形，所以，又，所以20.(1) (2) 存在点，使得为定值，且定值为0试题解析：（1）由已知可得解得， ，所求椭圆方程为（2）由得，则，解得或设， ，则， ，设存在点，则， ，所以 要使为定值，只需 与参数无关，故，解得，当时， 综上所述，存在点，使得为定值，且定值为021.解：（1）当时， 在点处的切线方程是.（2）的定义域为当，即当时，由解得或当时，当，即当时，由解得或综上：当时，的单调递增区间是，当时，的单调递增区间是当时，的单调递增区间是，（3）当时，由 知需证明令，设，则当时，单调递减当时，单调递增当时，取得唯一的极小值，也是最小值的最小值是另解：证明（“”不能同时成立）22.解：（1）曲线的普通方程为，则的极坐标方程为，由于直线过原点，且倾斜角为，故其极坐标为（或）.（2）由得，故，.10