高中数学《2.2.2 反证法》课件2 新人教a版选修1-2

22.2 反证法,学习目标 1.了解反证法是间接证明的一种基本方法 2理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题,知能优化训练,课前自主学案,22.2 反证法,课堂互动讲练,课前自主学案,综合法是“_”，而分析法则是“_”它们是截然相反的两种证明方法，分析法便于我们去寻找思路，而综合法便于过程的叙述，两种方法各有所长，在解决具体的问题时，综合运用效果会更好,由因导果,执果索因,1反证法 假设原命题_(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明_，从而证明了_，这种证明方法叫做反证法 2反证法常见矛盾类型 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与_、_、_、_等矛盾,不成立,假设错误,原命题成立,已知条件,公理,定义,定理,用反证法证明命题“若p，则q”时，为什么 q假q就真？ 提示：在证明数学命题时，要证明的结论要么正确，要么错误，二者必居其一，所以命题结论q的反面 q错误时，q就一定正确,课堂互动讲练,结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题，此类命题的反面比较具体，适于应用反证法,【思路点拨】 直接说明，不易入手，故应用反证法.,【思维总结】 本题涉及方程的根，所以应从根的范围上或者从值域的表达式上寻找矛盾,变式训练1 已知abc0，求证：abbcca不大于零 证明：假设abbcca0， 因为a2b2c20. 则(a2b2c2)2(abbcca)0. 所以(abc)20，即abc0，这与abc0矛盾，所以假设不成立，故abbcca0.,当命题中出现“至少”、“至多”、“不都”、“都不”、“没有”、“唯一”等指示性词语时，宜用反证法注意“至少有一个”、“至多有一个”、“都是”的否定形式分别为“一个也没有”、“至少有两个”、“不都是”,已知a1，求证三个方程： x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0中至少有一个方程有实数解,【思维总结】 反证法的主要依据是逻辑中的排中律，排中律的一般表现形式是：或者是A，或者非A，即在同一讨论过程中，A和非A有一个且仅有一个是对的，不能有第三种情形出现,结论以“有且只有一个”、“只有一个”、“唯一存在”等形式出现的命题，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性简单明了 已知：一点A和平面. 求证：经过点A只能有一条直线和平面垂直,【思路点拨】,【证明】 根据点A和平面的位置关系，分两种情况证明 图1,(1)如图1，点A在平面内，假设经过点A至少有平面的两条垂线AB、AC，那么AB、AC是两条相交直线，它们确定一个平面，平面和平面相交于经过点A的一条直线a. 因为AB平面 ，AC平面，a，所以ABa，ACa，在平面内经过点A有两条直线都和直线a垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾,(2)如图2，点A在平面外，假设经过点A至少有平面的两条垂线AB和AC(B、C为垂足)，那么AB、AC是两条相交直线，它们确定一个平面，平面和平面相交于直线BC，因为AB平面，AC平面，BC，所以ABBC，ACBC. 图2,在平面内经过点A有两条直线都和BC垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾 综上，经过一点A只能有平面的一条垂线 【思维总结】 证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性,变式训练3 求证方程2x3有且仅有一个实根 证明：2x3， xlog23，这说明方程有一个根 下面用反证法证明根的唯一性 假设方程2x3有两个根b1，b2(b1b2)，则2b13,2b23，两式相除得2b1b21，,如果b1b20，则2b1b21，这与2b1b21相矛盾 如果b1b20，则2b1b21，这与2b1b21相矛盾 因此b1b20，则b1b2，这与b1b2相矛盾 如果方程的根多于两个，同样可推出矛盾 故方程2x3有且只有一个根,方法技巧 1反证法不是直接去证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上，运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性,2结论为肯定形式或者否定形式的命题的证明常用反证法，通过反设将肯定命题转化为否定命题或将否定命题转化为肯定命题，然后用转化后的命题作为条件进行推理，很容易推出矛盾，从而达到证题的目的,3常用正面词语的否定形式,失误防范 1使用反证法必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的 2反证法的“归谬”要合理,