高等代数知识点复习总结研究生入学考试数学知识点复习

计算,2,基本概念： 次数：最基本的概念和工具 整除：多项式之间最基本的关系 带余除法：最基本的算法，判断整除. 最大公因式：描述多项式之间关系的复杂程度 互素：多项式之间关系最简单的情形 既约多项式：最基本的多项式 根：最重要的概念和工具,一元多项式,3,重要结论： 带余除法定理 对于任意多项式f(x)和非零多项式g(x)，有唯一的q(x)和r(x)使得 f(x)=g(x)q(x)+r(x)，r(x)=0或degr(x)degg(x). 最大公因式的存在和表示定理 任意两个不全为0的多项式都有最大公因式，且对于任意的最大公因式d(x)都有u(x)和v(x)使得 d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x) 互素 f(x)和g(x)互素有u(x)和v(x)使得 f(x)u(x)+g(x)v(x)=1.,4,因式分解唯一定理 次数大于1的多项式都可分解成有限个既约多项式之积，且不计因子次序和常数因子倍时，分解唯一.,标准分解定理 每个次数大于1的多项式f都有如下的标准分解 其中a是非零常数, p1,pt, 是互不相同的首一既约多项式, n1,nt是正整数. 进一步,a, p1,pt,n1,nt由f唯一确定.,重因式 f无重因式当且仅当f与其导式互素.,5,代数学基本定理： 下列陈述等价， 复数域上次数1的多项式总有根 复数域上的n次多项式恰有n个根 复数域上的既约多项式恰为一次式 复数域上次数1的多项式可分解成一次式之积. 实数域上的次数1的既约多项式只有无实根的二次式 实数域上次数1的多项式可分解成一次式和二次式之积,6,实数域上的标准分解定理 在实数域上，每个次数大于1的多项式f都有如下的标准分解 其中a是f的常数项, x1,xt 是f全不互不相同的根, p1,pt是互异、首一、无实根的二次式.,复数域上的标准分解定理 在复数域上，每个次数大于1的多项式f都有如下的标准分解 其中a是f的常数项, x1,xt 是f全部互不相同的根, n1,nt分别是这些根的重数.,7,多项式作为函数： 两个多项式相等(即对应系数相同) 它们作为函数相等(即在每点的函数值相等) 它们在k+1个点的函数值相等，这里k是它们次数的最大者. 设f(x)anxn+.+a1x+a0，若f(x)在n+1个点的函数值为0，则f(x)恒等于0.,8,Eisenstein判别法： 设 是整系数多项式，若有素数p使得 则f(x)是有理数域上的既约多项式. 有理根：有理根的分母整除首项系数，分子整除常数项,9,重要结论 命题1.8.1 若多项式的值全为0，则该多项式必为0. 命题1.8.2 每个n次多项式f均可唯一地表示成齐次多项式之和 ，fn0，且其中fi是0或i次齐次多项式，0in，fi称为f的i次齐次分量.,基本概念： 次数、齐次分量、字典序、首项、对称多项式,多元多项式,对称多项式基本定理 每个对称多项式，都可唯一地表示成初等对称多项式的多项式,.,10,11,运算及其关系,12,13,14,；,15,Laplace定理 (按第i1,.,ik行展开),；,分块三角形行列式,16,Cauchy-Binet公式 设U是m×n矩阵, V是n×m矩阵, mn, 则,17,18,对单位矩阵做一次初等变换,对A做一次行变换 = 用相应的初等矩阵左乘以A 对A做一次列变换 = 用相应的初等矩阵右乘以A,19,对于m×n矩阵A，B下列条件等价 AB，即A可由初等变换化成B 有可逆矩阵P,Q使得PAQ=B 秩A=秩B A，B的标准型相同,A,B行等价有可逆矩阵P使得A=PB 每个矩阵都行等价于唯一一个RREF矩阵,A,B等价有可逆矩阵P,Q使得A=PBQ 每个秩数为r的矩阵都等价于,矩阵等价,20,可逆矩阵vs列满秩矩阵,对于n阶矩阵A,下列条件等价 A是可逆矩阵 |A|0 秩A=n 有B使得AB=I或BA=I A是有限个初等矩阵之积 A(行或列)等价于I A的列(行)向量组线性无关 方程组Ax=0没有非零解 对任意b,Ax=b总有解 对某个b,Ax=b有唯一解 A是可消去的(即由AB=AC或BA=CA恒可得B=C) 对于m×r矩阵G,下列条件等价 G是列满秩矩阵, G有一个r阶的非零子式 秩G=列数 G有左逆,即有K使得KG=I 有矩阵H使得(G, H)可逆 G行等价于 G的列向量组线性无关 方程组Gx=0没有非零解 对任意b,若Gx=b有解则唯一 对某个b,Gx=b有唯一解 G是左可消去的(即由GB=GC恒可得B=C),21,设A的秩数为r, 则A有如下分解 ,其中P,Q为可逆矩阵 A=PE,其中P可逆,E是秩数为r的RREF A=GH,其中G列满秩,H行满秩,且秩数都是r (满秩分解),矩阵分解,22,分块矩阵的初等变换和Schur公式 把初等变换和初等矩阵的思想用到分块矩阵 Schur公式 设A可逆,两种常用方法,适用例子: 习题3.7.5; 3.7.911:,23,2.正则化方法 证明当A可逆时结论成立 考虑xI+A,有无穷多个x使得该矩阵可逆 将要证明的结论归结为多项式的相等 若两个多项式在无穷多个点处的值相同,则这两个多项式在任意点的值相等,特别地,取x=0.,适用例子: 习题3.6.4; 3.7.7; 3.7.11:,24,特殊矩阵,三角 正规 可逆对合 Hermite 反Hermite 酉矩阵 幂等 幂零 对称 反对称 正交 对角 纯量,25,向量,26,线性表示： 列向量组1,.,r可由1,.,s线性表示当且仅当有矩阵C使得(1,.,r)=(1,.,s)C. 进一步，C的第k列恰为k的表示系数 线性表示有传递性 被表示者的秩数表示者的秩数,向量组等价： 对于向量组S，T，下列条件等价 S和T等价，即S,T可以互相表示 S,T的极大无关组等价 S,T的秩数相等，且其中之一可由另一表示,27,线性相关与线性表示： 1,.,r线性相关当且仅当其中之一可由其余的线性表示 若,1,.,r线性相关,而1,.,r线性无关,则可由1,.,r线性表示,且表法唯一,线性无关：对于向量组1,.,r下列条件等价 1,.,r线性无关 当c1,.,cr不全为0时，必有c11+.+crr0 当c11+.+crr0时，必有c1.cr0 1,.,r的秩数等于r (1,.,r)是列满秩矩阵,28,极大无关组与秩数： 1,.,rS是S的一个极大无关组当且仅当 1,.,r线性无关 S的每个向量都可由1,.,r线性表示 秩S极大无关组中向量的个数 若秩Sr,则任何r个无关的向量都是极大无关组 矩阵的秩数行向量组的秩数列向量组的秩数,29,向量空间 向量空间：加法和数乘封闭的向量集合 基底：向量空间的极大无关组 维数：向量空间的秩数 行空间：矩阵的行向量组张成的向量空间 列空间：矩阵的列向量组张成的向量空间,行空间与列向量的维数都等于矩阵的秩数 对于矩阵m×n矩阵A，B，下列条件等价 A,B行等价 A,B的行空间相同 A,B的行向量组等价 A,B的列向量组线性关系一致 Ax=0和Bx=0同解,30,线性方程组,线性方程组的表示 方程式： 矩阵式：Ax=b, 其中A=(aij)m×n, x=(xi)n×1, b=(bi)m×1 向量式：x11+.+xnn=b, 其中i是xi的系数列,31,解的判定: 1. n元线性方程组Ax=b有解系数矩阵与增广矩阵的秩数相等. 具体地， 当秩A秩(A b)时，方程组无解 当秩A秩(A b)n时，方程组有唯一解 当秩A秩(A b)n时，方程组有无穷解,2. 线性方程组有解常数列可由系数列线性表示. 此时, 解恰为表示的系数,32,解法 Cramer法则 Gauss-Jordan消元法： 用行变换和列换法变换将增广矩阵化成RREF 写出RREF方程组 取每个方程的第一个变量为主变量，其余的为自由变量，并解出主变量 写出参数解或通解,33,解的结构 齐次线性方程组Ax=0： 解空间：解的集合 基础解系：解空间的基底 通解：设1,s是一个基础解系,则通解为 =c11+.+css，其中c1,.,cs是任意常数 解空间的维数未知数个数系数矩阵的秩数 设秩A=r,则Ax=0的任何n-r个无关的解都是基础解系,34,一般线性方程组Ax=b： Axb和Ax=0的解的关系： Axb的两个解之差是Ax=0的解 Axb的解与Ax=0的解之和是Ax=b的解 Ax=b的解的线性组合是 设Sb和S0分别表示Axb和Ax=0的解集合，则 SbS0+，Sb 通解：设1,s是一个基础解系,是Ax=b的一个解, 则通解为 =c11+.+css+，其中c1,.,cs是任意常数,Ax=0的解，当系数和0时； Ax=b的解，当系数和1时.,35,多项式的计算 带余除法 求最大公因式(辗转相除法) 求有理根：有理根的分母整除首项系数，分子整除常数项 既约性判别：Eisenstein判别法 重因式判别 特殊多项式的因式分解 用初等对称多项式表示对称多项式,计算,36,矩阵计算 行列式：化三角形；展开+递推 求逆矩阵：行变换；伴随 求秩数：初等变换；定义,37,方程组的计算 求基础解系： Gauss-Jordan消元法(行变换+列换法) 已知秩Ar，则任何r个无关解都是基础解系 求通解：Gauss-Jordan消元法(行变换+列换法) 带参数的方程组： 先化简，再判定. 可先考虑唯一解的情形.特别是有系数行列式时.,38,向量的计算 设S：1,.,s是n元向量组(无论行或列) 求S的秩数：S的秩数=它组成的矩阵的秩数 判断S的相关性： 设x11+.+xss=0,将其转化成x的方程组.若方程组有非零解，则S相关；否则，无关. 求S的秩数.若秩Ss,则相关；若秩Ss,则无关 线性表示：令=x11+.+xss,将其转化成x的方程组.若方程组有(唯一)解，则可由S(唯一)表示，且方程组的解就是表示的系数；否则，不可由S表示.,39,求极大无关组： 若已知秩Sr，则在S中找出r的无关的向量即可 将S中的向量写成列的形式组成矩阵，对矩阵作行变换，化成阶梯形或RREF，则S与阶梯矩阵的列向量组线性关系一致.,40,