向量组的等价及向量组的秩
向量组的等价及向量组的秩一 基本概念1 设 是由若干个 维向量构成的集合，向量 ，若有Tn12,rT（1） 线性无关；2,r（2） 中任一向量都可由 线性表示。12,r那么，则称 是 的一个极大无关组。称 为 的秩数，若 无极大无关组，12,r TT即 不含非零向量时，称 的秩数为 0。 的秩数记为 。 T ()R2 设有 维向量组： 与 维向量组： 。如果中任一向n12,s n12,t量都可由中向量线性表示，反之中任一向量都可由中向量线性表示，那么则称向量组与等价。3 矩阵 的行向量组的秩数称为 的行秩数； 的列向量组的秩数称为 的列秩数。AAA的行秩数记为行秩 ； 的列秩数记为列秩 。二 主要结论1 简化行阶梯形矩阵的性质（1）主列构成的向量组线性无关；（2）每一非主列均可由前面的主列线性表示；从而若有非主列，则其列向量组必线性相关。（3）主列构成的向量组即为列向量组的一个极大无关组；从而列秩数等于主列的个数。2 对矩阵 进行行的初等变换不改变 的列向量组的线性关系。AA3 个数大于维数的向量组必线性相关；特别有， +1 个 维向量必线性相关。n4 设向量组 中任一向量都可由向量 线性表示。那么，如果12,s 12,t，则向量组 必线性相关。sts等价陈述即其逆否命题为：设向量组 中任一向量都可由向量12,s线性表示。那么，如果向量组 线性无关，则必有 。12,t s st推论 1：向量组 的极大无关组中所含向量个数被 所唯一确定。即 的任意两个极TTT大无关组中所含向量个数相等。推论 2：设向量组（）中任一向量都可由（）中向量线性表示，则 () R()。R推论 3：等价的向量组的秩数相等。5 对任意矩阵 均有，行秩 =列秩 = （ ） 。AAR6 设 为 n 阶方阵，则下述条件等价：（1） 为可逆矩阵：（2） ；0（3） ：()RAn（5）行秩 =列秩 =（6） 的列向量组线性无关；（7） 的行向量组线性无关；例 题一 计算题1 求向量组 的秩，一个极大无关组以及把其余向量表成1021,233极大无关组的线性组合。2 已知向量组 与 有1239,0,63171230,10ab相同的秩，且 可由 线性表示，求 的值。312, ,ab二 单项选择题1 设 维向量组（）： 与向量组（）： 的秩均为 3，向量组n123,1234,（）： 的秩为 4，则向量组 的秩为235,12354,（ ） 2， （ ） 3， （ ） 4， （ ） 5。ABCD2 设 与 是两个 维向量组，且秩 =秩1,s 12,t n12(,)s，则()tr（ ） 两个向量组等价；（ ） 秩 ；B1212(,)str （ ） 当 可由 线性表示时， 也可由Cs 12,t 12,t线性表示；12,s（ ） 当 时，两个向量组等价。Dst三 证明题1 设 是一个向量组， ，且 线性无关，证明下述两条件T12,rT 12,r等价：（1） 中任一向量都可由 线性表示；12,r（2） 中任何 向量都线性相关。r2 设向量组 的秩为 ， ，证明若 线性无关，则T12,rT 12,r为 的一个极大无关组。1,r3 设向量组 的秩为 ， ，证明若 中任何向量都可由r12,r T线性表示，则 为 的一个极大无关组。12,r 12,r T4 设向量 ，而 ，12()s 11，证明：秩 =秩 ；22, ss2,)s 2(,)s5 举例说明两个向量组的秩相等时这两个向量组未必等价。但若秩相等且其中一个向量组中的任何向量都可由另一个向量组中的向量线性表示，则这两个向量组等价。6 设 ， 为 矩阵，且 ，证明 的列向量组线性相关。1230AB30AB作 业1 设向量组 的秩为 ，其中 ，则12,s r1,0sr（ ） 必有 ；Ar（ ） 向量组 中任意个数小于 的部分向量组必线性相关；B12,s（ ） 向量组 中任意 个向量必线性无关；Cs r（ ） 向量组 中任意 +1 个向量必线性相关。D12,s2 设向量组 中任一向量都可由向量 线性表示。则下列结论正s 12,t确的是（ ） 当 时向量组 线性相关；Ast12,s（ ） 当 时向量组 线性相关；Bst12,s（ ） 当 时向量组 线性相关；Ct（ ） 当 时向量组 线性相关。Dst12,t3 设 为 矩阵，且 ，则Amn()RAm（ ） 的行向量组与列向量组都线性无关；（ ） 的行向量组线性无关，列向量组线性相关；B（ ） 当 时， 的行向量组线性无关，列向量组线性相关；C（ ） 当 时， 的行向量组与列向量组都线性无关。Dn4 求向量组 的秩，一个极大无关组以及把其余向量表成极大1201,343无关组的线性组合。5 设有向量组 1234126,5103pp（1） 为何值时该向量组线性无关？并在此时将向量 用 线性表p 6101234,示；（2） 为何值时该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大无关组。6 设 是一个向量组， ，若 中任何向量都可由 唯一线T12,mT 12,r性表示，证明 为 的一个极大无关组。12,r7 设 维向量组（）： ，的秩为 ，向量组（）： 的秩n12,s 1r12,t为 ，向量组（）： ， 的秩为 ，证明下列结论：2rs 12,t 3（1）若向量组（）可由（）线性表示，则 = ；2r（2）若向量组（）可由（）线性表示，则 = ；13（3）若 = ，则 ；2r312r（4）若 = ，则 。1r321r8 设向量组 的秩为 ，证明向量组 的秩仍为 的充分必,m 12,m r要条件是 可由 线性表示。12
