向量方法、张宏斌

向量方法张宏斌（疏附县二中 新疆喀什 844100）摘要：向量的发展、向量方法在中学教学中的运用 关键词：中学数学教学；向量方法；应用1 前言见于在全日制普通高级中学教科书中增加了大量的相关向量的内容，如向量的概念、表示、性质及其运算等内容。尽管向量是高中数学的新增内容，但确是新高考的一个亮点。而且向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的"双重身份" ，能融数形于一体，能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合，形成知识交汇点。而在高中数学体系中，空间几何占有着很重要的地位特别是在近几年高考数学试题中得到了充分的体现。而且向量在研究空间几何问题中为学生提供了新的视角，如证明线面平行、线面垂直及面面平行、面面垂直及夹角和距离问题中方显出更大的优越性。特别是法向量的引入，法向量的灵活应用，将使得原本很繁琐的推理，变得思路清晰且规范。比起过去的常规法解决空间几何问题有了更深刻更新颖的认识。有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂，不妨运用向量作形与数的转化，则会大大简化过程，这充分揭示方法求变的重要。随着课程改革的进行，可见向量的应用将会更加广泛，为了更好的做好今后的教学工作，所以对向量方法的探讨显得尤为重要了。2 向量的发展尽管我们中学课本里比较详尽的叙述了向量的概念、表示、运算及其应用，即向量是既有大小又有方向的量，是不同与以往的数量，他们之间不能进行大小比较；它可以有几何和代数两种表示形式，也就是说可用有向线段和字母及坐标来表示；同时也阐述了它的加、减、数乘和数量积四种运算。可向量的发展确经历了所谓的萌芽时期到概念与理论的逐渐形成阶及开创和完善等几个阶段。2.1 萌芽时期古希腊的亚里士多德（前 384-前 322）已经知道两个力的合成，可以用平行四边形法则得到。2.2 向量概念与理论的逐渐成形丹麦的魏塞尔（1745-1818）和瑞士的阿工（1768-1822）发现了复数的几何表示。德国高斯（1777-1855）建立了复平面的概念，从而使复数与向量建立起一一对应。这不但为虚数的现实化提供了可能，也为向量的发展开辟了道路。向量表示为一对有序的实数（a,b）是一个重大的进步。19 世纪中期，英国数学家哈密顿（1805-1865）发明了四元数（包括数量部分和向量部分）以代表空间中的向量。他的工作为向量代数和向量分析的建立奠定了基础。麦克斯韦（1831-1879）这位杰出的爱尔兰人，不仅是向量史上非常有影响的人物，而且也代表着 19 世纪物理学的重要发展方向，进而让人们逐步认识到用向量处理问题的重要性。麦克斯韦把四元数的数量部分和向量部分分开处理，从而创造了向量分析。三维向量分析的开创，以及其同四元数的正式决裂，是英国的居伯斯和海维塞德于 19 世纪 80 年代各自独立完成的。他们提出，一个向量不过是四元数的向量部分，但不独立于任何四元数。他们引进两种类型的乘法，即数量积和向量积。并把向量代数推广到变向量的向量微积分。从此，向量的方法被引进到数学分析和解析几何中来，并逐步完善，成为了一套优良的数学工具。N 维向量理论是由德国数学家格拉斯曼于 1844 年引入的。这里的 n 维向量可以是任意数学对象或物理对象。格拉斯曼在 1862 年的扩张论中给出了一种经验的线性结构的公理化表述，定义了元素的加法、减法、数乘和数除，给出了这四种运算的一系列基本性质和运算定律。2.3 向量理论的完善。向量空间的抽象概念首先由意大利的皮亚诺（1858-1932）从几何中发展而来他在 1888 年的著作几何演算-基于格拉斯曼的 中给出了被他称为“线性系统”的第一个公理化定义。1918 年，德国数学家外尔（1885-1955）在其著作空间，时间，物质-关于广义相对论的讲座中对实数域上的向量空间进行了公理化。但皮亚诺和外尔的工作对向量空间公理化的传播并没有起到决定性的作用。向量空间公理化向前发展的关键性一步是由波兰数学家巴拿赫（S.Banach，1892-1945） 、美国数学家维纳（N.Wiener， 1894-1964）和澳大利亚数学家哈恩（H.Hahn，1879-1934）迈出的。这三位数学家都是在分析的研究中发现了赋范向量空间的概念，且都对推广各种空间的代数和拓扑性质具有浓厚兴趣。到 20 世纪 30 年代，向量空间理论已成为许多复杂精确性理论的基础和一种模型，被广泛应用到数学的许多分支及其它学科中。像任何一门公理化的数学分支一样，向量理论的公理化一旦完成，就允许各种具体的解释，其应用范围得到了极大的拓广。现今， （n 维）向量空间的概念，已成为数学中最基本的概念和线性代数的中心内容，它的理论和方法在自然科学的各个领域中得到了广泛的应用，而向量及其线性运算也为“向量空间”这一抽象的概念提供了一个具体的数学模型。回顾向量概念的历史演变，向量概念的演变可分为两个传统，其中一个传统与数学有关，存在于数的概念的不断扩张中；另一个与物理学有关，存在于寻找物理现象的数学表述和演算中。主要是为了满足物理学的需要。3 向量思想方法什么是向量思想方法？中学向量的研究，大多是对向量知识的教学研究，而把向量解决问题上升为一种指导思想的研究较少。实际上向量思想方法是向量知识的组成部分，是以向量内容为载体的对向量的一种本质认识，是一种隐性的认识。而向量思想作为一种解题的指导思想，而向量法是实现这种指导思想的具体操作方式。所谓的向量思想方法，即从问题的条件入手，找到与向量知识的相交点，转化为向量背景下的形式，借助向量的运算法则求解，然后回到原问题中达到解决问题的目的。所以向量解题的一般步骤是：1）将一个实际问题化归为数学问题，进行数学化设计；2）将数学问题化归为向量问题，进行标准化设计，这个过程也就是如何科学地、合理地构造合适的向量，即向量化过程；3）将向量问题化归为流畅的向量运算过程；4）将结果还原为原问题的解。4 向量方法在中学数学教学中的作用沟通几何与代数的桥梁：向量的几何描述与坐标描述，向量集数、形于一身，是数形结合的绝好体现，沟通了代数、几何、三角。那么，向量究竟有什么威力和魅力，使得它如此受人重视呢？说来简单，无非向量“能算 ”。在数学上，点的直角坐标，向量的坐标分解（投影） ，直角三角形的正弦、余弦，复数的实部与虚部四位一体。它们的原始概念彼此相通，只有形式上的不同。向量分解可以看作直角坐标的一种推广。分解就是投影，投影的量化就是正弦和余弦。可见向量在中学教学中的作用。 1）有利于课标实施过程中数学思想方法的落实；2）有利于体验和感受数学的简单美；3）有利于更新空间思维方法；4）有利于中学数学和大学数学的衔接；5）有利于形成以向量为主线的高考总复习。过去认为中学数学可围绕两条明显主线展开，一条是“数系” ，另一条是形。随着课程改革的实施，中学数学还可围绕“向量”这条主线展开，因为向量是一种好用的工具，向量是联系几何和代数的桥梁，可以解决很多几何和代数问题。向量是中学数学许多知识的交汇点，是构建知识网络的绝佳载体。5 向量在中学教学中应用举例5.1 函数最值问题例 1 ，且 ， ，求 的最大值。,mnxyR2na2xybmxny分析：由所求式子的形式联想到向量数量积，向量数量积的坐标表达有着广泛的应用。解：设 ， ，则 ，又,p,qxypqxnyA，所以 的最大值为 （当且仅当cosqabAmab时等号成立） 。mxny5.2 不等式中的运用例 2 设 ，求证： 。,abcdR222acbdcd分析：这是柯西不等式 的二维情形。211nniii常规证法： ，两边同时加上 有2adbcadbc2,acbd= 。 22 2c 2acbd向量证法：参见例一证法。这两个题目都运用了基本不等式 的坐cosababA标描述。好的解题方法，不仅应该有利于学生解题，同时还便于学生回忆，应该便于学生日后提取相关知识。上面的式子非常简捷，容易记住。大部分解题基本要用到向量数量积的坐标表达式。5.3 平面几何中的运用人教 A 版，北师大版，苏教版等多个版本的高中数学教材都选用了此题，或作例题或为习题。此例是为了说明向量教学中的利用向量教学的一些误区（摘自张景中 向量教学存在的问题及对策）向量教学应体现向量的先进性。例 3 如图，在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别为 AD，CD 的中点，连接 BE，BF 交 AC 于点 R，T，求证 R，T 分别为 AC 的三等分点。分析： ，即 ，根据平面向量基本定理得2ABFC2TBFTC，点 T 为 AC 的三等分点。同理点 R 为 AC 的三等分点。例 4（三角形中的心如何用向量表示）1）若 O 为 所在平面上一点，且满足 ，则 O 为ABOAB的（ ） ；ABC2）O 为平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足， 。则 P 点的轨迹一定通过 的（ ） ；P0,AC3）在平面内有 和点 O，若 ，则 O 是ABCABO的（ ） ；ABC4） 已知 O 是 中的一点，且 ，则 O 是 的（ 0CABC） 。5.4 向量法在三角函数中的运用例 5 证明余弦定理与正弦定理。首先证明余弦定理。，2 2()()cosABCBACBCA所以 ，同理有 ，2coscab2ab。22b由此我们得到余弦定理：三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角余弦的积的二倍，即： ，22coscabC， 。22cosbaB22osacbA5.5 向量法在平面解析几何中的运用例 6 （推导点到直线距离公式）已知直线 ,， 是:0lxByC0(,)Qxy外一点。求： 到 的距离。lQl1）从向量数量积的角度解： 的一个法向量为 ，设 的单位向量0AxByC(,)nABn， 到 的距离等于 到直线 上点 连线在 上投02(,)nlQlP（ x,y） 0n影的绝对值，即 到 的距离Qld21(,)ABP= 02(,),)xy= 021)AB因为 在直线 上，所以 ，从而P（ x,y） l 0xyC021dAxByC2）从向量坐标运算的角度的一个法向量为 ， 是 外一点，设 是(,)nAB0(,)QxylPQ直线 的垂线段，则 。l ,PQ所以， ，00(,)(,)xxyy带入直线方程，得 ，00()AxBC所以， ，所以 = 02yC(,PQA。021xBA例 7 （1996 全国理 26 题）如图，已知椭圆 ，直线 ，2146xy:128xylP 是 上一点，射线 OP 交椭圆于点 R，又点 Q 在 OP 上且满足 。l 2OQPR当点 P 在 上移动时，求点 Q 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？解：由题意可知 O，P，Q，R 四点共线，设 ，(,)Qxy， ，设1(,)Pxy2(,)y(0)OPmQRn于是，有 12,xxyy因为点 P，R 分别在已知直线和椭圆上，分别带入得： ，128xym。又因为 ， ， ，22146xyn2OQPm2ORnQ2OPR故 ，由 O，R 不重合可知 O，Q 不重合，因此 x，y 不同时为 0，由m的 ，整理配方得点 Q 的轨迹方程为：2n24168xy（x，y 不同时为 0） 。22153y即轨迹是以 为中心，焦点在 x 轴，长轴长为 ，短轴长为 的(1,) 12153椭圆。5.6 向量法在立体几何中的运用立体几何是研究空间图形的形状、大小与位置关系的数学分支，它除平面几何需要的“计算能力” 、 “逻辑思维能力”外，还需要具备对