高等数学,同济大学第六版,25

一、问题的提出,实例:正方形金属薄片受热后面积的增大了多少?,§5. 函数的微分,再例如, 几乎反映y随x变化的全过程 既容易计算又具有较高的精度,二、微分的定义,定义,(微分的实质),注：由定义知:,即用微分近似增量.,微分,可微:,三、可微的条件,即可微性与可导性的关系,定理,证,(1) 必要性,问题:函数满足什么条件才可微? 如何求微分?,(2) 充分性,例1,解,M,N,f (x),dy,x,微分近似增量是函数的局部线性化,.,用切线增量近似曲线增量,dy,dy =,在图上是哪条线段？,=tan x,四、微分的几何意义,即：,y,切线纵坐标的增量.,x,y,o,dy,x,用切线增量近似曲线增量,dy, y,微分的几何意义,dy y,哪条线段是dy ？,.,问题：何时dy y ?,五、微分的求法,求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.,1.基本初等函数的微分公式,2. 函数和、差、积、商的微分法则,例2,解,解法1,解法2,结论：,这一性质叫做“一阶微分形式的不变性”,3. 复合函数的微分法则(一阶微分形式的不变性),例3,解,基于一阶微分形式不变性，求微分时无须指明对哪一变量进行, Esp 对复合函数只需一次一次地求，直至不能求(自变量)为止. 导数不具有此性质，求导时总要指明对哪一变量进行的！,例4,解,在下列等式的括号中填入适当的函数,使等式成立.,六、微分在近似计算中的应用 1.计算函数增量的近似值,例1,解,2.计算函数的近似值,例2,解,常用近似公式,证明,例3,解,3.误差估计,由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，我们把它叫做间接测量误差.,定义：,问题:在实际工作中,绝对误差与相对误差无法求得?,办法:将误差确定在某一个范围内.,通常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误差与相对误差.,例4,解,小 结,微分学所要解决的两类问题:,函数的变化率问题,函数的增量问题,微分的概念,导数的概念,求导数与微分的方法,叫做微分法.,研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学.,导数与微分的联系:,导数与微分的区别:,导数反映了函数因变量相对于自变量变化的快慢程度，即：函数的变化率。 微分指明, 当自变量有微小变化时，函数大体上改变了多少。,近似计算的基本公式,思考题,思考题解答,说法不对.,从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念.,练 习 题,练习题答案,练 习 题,练习题答案,总习题二 (P124),1; 2; 5 (2); 12; 13.,习题 2-5 (P122）,3 (5)(7)(9); 4 (6)(8); 5; 6.,