非线性系统分析ppt
第七章 非线性控制系统分析,本章的主要内容,典型非线性特性 描述函数 描述函数法,7.1 典型非线性特性,一、非线性系统的特点,（1）叠加原理无法应用于非线性微分方程中。 （2）非线性系统的稳定性不仅与系统的结构和参数有关，而且与系统的输入信号和初始条件有关。 研究非线性系统的稳定性，必须明确两点：一是指明给定系统的初始状态，二是指明相对于哪一个平衡状态来分析稳定性。 （3）非线性系统的零输入响应形式与系统的初始状态却有关。当初始状态不同时，同一个非线性系统可有不同的零输入响应形式。 （4）有些非线性系统，在初始状态的激励下，可以产生固定振幅和固定频率的周期振荡，这种周期振荡称为非线性系统的自激振荡或极限环。,二、非线性系统的研究方法,1.描述函数法,它是一种频域分析法，实质是应用谐波线性化的方法，然后用频域法的结论来研究非线性系统。优点是不受系统阶次的限制。,2.相平面法,它是一种时域分析法，并且是一种图解分析法。实质是通过在相平面上绘制相轨迹，可以求出微分方程在任何初始条件下的解。局限性是仅适用于一阶和二阶系统。,3.计算机求解法,用计算机直接求解非线性微分方程，对于分析和设计复杂的非线性系统非常有效。,三、典型非线性特性,（1）饱和特性 饱和非线性特性的数学描述,饱和非线性特性的特点是：当输入信号较小时，工作在线性区域；当输入信号较大时，输出呈饱和状态。利用这个特性，常常可使系统的控制信号进行限幅，从而保证系统或元件工作在额定状态或安全情况下。,（2）死区特性 死区非线性特性的数学描述,死区非线性出现在一些对小信号不灵敏的装置中，如测量元件、执行机构等。其特点是：当输入信号较小时，无输出信号；当信号大于死去后，输出信号才随着输入信号变化。 死区非线性对系统性能的主要影响是： 可使系统响应的振荡性减小； 对于跟踪缓慢变化输入信号的系统，可使系统的输出量在时间上产生滞后； 可使系统产生额外的稳态误差； 可以滤去振荡振幅小于死区的干扰信号，提高系统的抗干扰能力。,（3）滞环特性 滞环非线性也称为间隙非线性，其数学描述为,滞环非线性主要存在于机械加工设备由于装配带来的间隙。 其特性是：当输入信号较小时，输出为零；当输入信号大于a时，输出呈线性变化；当输入信号反向时，输出保持不变，直到输入小于-a时，输出才又呈线性变化。 滞环非线性对系统性能的影响主要有： 由于间隙非线性特性的频率特性具有相位滞后的特点，所以会使系统的相位裕度降低，加剧系统的振荡性； 间隙非线性特性会使系统的稳态误差加大。,（4）继电器特性,继电器非线性有双位继电器特性、具有死区的继电器特性、具有滞环的继电器特性、具有死区和滞环继电器特性。继电器被广泛应用于控制系统、保护装置和通信设备中。 继电器非线性特性对系统性能的影响主要有： 通过相平面分析，对于线性部分是二阶的具有滞环继电器特性的非线性系统存在极限环； 通过描述函数分析，对于线性部分是三阶或三阶以上的具有继电器特性的非线性系统存在极限环； 把控制器设计成双位继电器特性，可以获得时间最优控制系统。,7.2 描述函数,一、描述函数的定义,（1）描述函数的基本概念 设非线性环节的输入信号为正弦信号 ，其输出一般为非周期正弦信号，可以展开为傅氏级数 若非线性环节输入输出的静态特性曲线是奇对称的，即 ，于是输出中将不会出现直流分量，从而 。 式中：,若线性部分的具有低通滤波器的特性，从而非线性输出中的高频分量部分被线性部分大大削弱，可以近似认为闭环通道中只有基波分量在流通，即随着n的增大，谐波分量的频率越高，其幅值 、 越小。可以近似认为非线性环节的稳态输出中只包含有基波分量，即,式中：,（2）描述函数的定义 类似线性系统中的频率特性定义：非线性元件稳态输出的基波分量与输入正弦信号的复数之比称为非线性环节的描述函数，用 来表示。,显然， 时， 为复数。,（3）描述函数的应用条件 非线性系统的结构图可以简化为只有一个非线性环节N和一个线性环节 串联的闭环结构。 非线性特性的静态输入输出关系是奇对称的，即 ，以保证非线性环节在正弦信号作用下的输出中不包含直流分量。 系统的线性部分具有良好的低通滤波特性，以保证非线性环节在正弦输入作用下的输出中的高频分量被大大削弱。,二、描述函数的求法 描述函数求解的一般步骤是： 首先由非线性特性曲线，画出正弦信号输入下的输出波形，并写出输出波形 的数学表达式。 利用傅氏级数求出 的基波分量。 将基波分量代入描述函数定义，即可求得相应的描述函数 。,1.理想继电特性,2.饱和特性,三、组合非线性特性的描述函数 复杂非线性特性的描述函数求解，常常可以分解为基本连接形式的简单描述函数，然后再按照连接方式，求出组合非线性特性的描述函数。同样，简单非线性基本连接形式有串联、并联。,（1）非线性特性的并联计算,设输入为 ，则两个非线性环节的基波分量分别为输入信号乘以各自的描述函数，即,总的基波分量为,总的描述函数为,（2）非线性环节的串联,两个非线性环节相串联，串联后总的非线性特性的描述函数并不等于个串联环节描述函数的乘积。而是应该先求出这两个串联非线性特性的等效非线性特性，然后再求这个等效非线性特性的描述函数。 例1 如下图两个非线性特性相串联,由串联后的等效非线性特性，对照表7-1的死区加饱和非线性特性，可见，,于是，等效非线性特性的描述函数为,7.3 非线性系统的描述函数法,通过描述函数，一个非线性环节就可以看作是一个线性环节，而非线性系统就近似成了线性系统，于是就可进一步应用线性系统的频率法对系统进行分析。这种利用描述函数对非线性系统分析的方法称为描述函数法。但这种方法一般只能用于分析系统的稳定性和自振荡。,一、非线性系统的稳定性 在上述所示的非线性系统结构中，非线性部分N可以用描述函数 表示，线性部分 则用频率特性 表示。,由闭环系统的结构图，可得到系统的闭环频率特性 如下：,其闭环特征方程为,从而有,上式 称为非线性特性的负倒描述函数。,对比在线性系统分析中，应用奈氏判据当满足G(j)-1时，系统是临界稳定的，即系统是等幅振荡状态。显然-1/N(A)相当于线性系统的（-1，j0）点。区别在于，线性系统的临界状态是（-1，j0）点，而非线性系统的临界状态是-1/N(A)曲线。,利用奈氏判据判别非线性系统稳定的方法：,首先求出非线性环节的描述函数N(A)，然后在极坐标图上分别画出线性部分的G(j)和非线性部分的-1/N(A)曲线，并假设G(s)的极点均在s左半平面，则,(1)若曲线G(j)不包围曲线-1/N(A) ，则非线性系统是稳定的；,(2)若曲线G(j) 包围曲线-1/N(A) ，则非线性系统是不稳定的；,(3)若曲线G(j) 与曲线-1/N(A)相交 ，则在理论上产生等幅振荡，或称为自振荡,二、自激振荡的分析与计算 由上述分析可知，当线性部分的频率特性 与负倒描述函数曲线 相交时，非线性系统产生自激振荡。下面进一步分析自激振荡的条件和自激振荡的稳定性 。,自激振荡条件 设非线性部分的输入函数为,由描述函数的定义可知，非线性环节的输出信号基波分量为 而线性部分的输出信号为 若假设系统存在自激振荡，此时应有 ，故结构图应该变为,即有,于是,这是自激振荡的条件，把条件中幅值条件和相角条件综合起来，就是,自激振荡的稳定性 自激振荡的稳定性指，当非线性系统受到扰动作用而偏离原来的周期运动状态，当扰动消失后，系统能够回到原来的等幅振荡状态的，称为稳定的自激振荡。反之，称为不稳定的自激振荡。 如右图所示，线性部分的频率特性 与负倒描述函数曲线 有两个相交 点 、 ，这说明系统有两个自激振荡点。 对于 点，若受到扰动使幅值A增大，则工作 点将由 点移至a点。由于a点不被 包围， 系统是稳定的，故振荡衰减，振幅A自动减小， 工作点将沿曲线又回到 点。反之亦然。 所以 点是稳定的自激振荡。 同理， 点是不稳定的自激振荡。,判别自激振荡稳定的方法是：在复平面自激振荡附近，当按幅值A增大的方向沿 曲线移动时，若系统从不稳定区域进入稳定区域的，则该交点代表的自激振荡是稳定的。反之，当按幅值A增大的方向沿 曲线移动是从稳定区域进入不稳定区域的，则该交点代表的自激振荡是不稳定的。,自激振荡的计算 对于稳定的自激振荡，其振幅和频率是确定并且是可以测量的，具体的计算方法是：振幅可由 曲线的自变量A来确定，振荡频率 由 曲线的自变量 来确定。,例2具有理想继电器特性的非线性系统如下所示，其中线性部分的传递函数为 ，试确定自激振荡的幅值和频率。,解：继电器非线性的描述函数为 负倒描述函数为 当 时， ，当 时， ，因此当 时，曲线为整个负实轴。 线性部分的频率特性为 画出 和 曲线如下图，由图可知，两曲线在负实轴上有一个交点，且该自激振荡点是稳定的。,令 ，即 求得自激振荡频率 。 将 代入 的实部，得到,由 即有 于是求得自激振荡的幅值为 自激振荡频率为,
