《阶微分方程的求解》ppt课件
电路暂态分析的目的是为了得到 电路的时域响应。,建立动态电路的状态方程，得到一阶微分方程组（或一阶微分方程），再求该方程组的解。,因此暂态分析的实质就是如何获得并且求解电路的常微分方程。,3.3 一阶微分方程的求解,一阶微分方程的求解可归结为在给定初始条件下， 求微分方程的初值问题,基本思想： 在初值问题存在唯一解的时间区间内，在若干个时间离散点上，用差分方程代替微分方程，然后逐点求解差分方程，得到各时间离散点 、 处的函数 近似值 、 ,当两相邻离散点之间的间隔较小时，用一阶差商 取代一阶导数,一.前向欧拉法,令步长 ，则,其近似值为：,近似解的误差首先是由差商近似代替微商引起的，这种近似代替所产生的误差称为截断误差。还有一种误差称为舍入误差，这种误差是由于计算时数值舍入引起的。,前向欧拉法的几何意义：,在任一步长内，用一段直线代替函数 的曲线，此直线段的斜率等于该函数在该步长起点的斜率。,欧拉法的几何意义：过点A0（t0，y0），A1（t1，y1），A n（t n，y n ），斜率分别为f（t0，y0），f（t1，y1），f（tn，y n）所连接的一条折线，所以欧拉法亦称为欧拉折线法。,例1. 应用前向欧拉法解初值问题,取步长h=0.1，并把计算结果与精确解比较,解：据前向欧拉法,又,有：,【思路】 用欧拉法求解常微分方程的初值问题时，首先熟练掌握欧拉公式的一般形式，根据具体题目写出找出欧拉公式的迭代式，并根据初始条件和所给步长进行迭代求解。,微分方程 是一阶线性微分方程， 可求出其通解：,则方程的解为：,从而有：,带入初值 可得,一阶非齐次线性微分方程,计算结果列表（ 为前向欧拉法计算近似值， 为精确值）,正,分析：,当步长不是很小时，前向欧拉法的精度不 是很高。步长取定后，步数越多，误差越 大。,二、后向欧拉法,其近似值：,在任一步长内，用一段直线 代替函数 的曲线，此直 线段的斜率等于该函数在该 步长终点的斜率。,后向欧拉法的几何意义：,精确值,近似值,注：后向欧拉法的两种处理方式 前向Euler法为显式，后向Euler法为隐式须解出yk+1. 可用迭代法 yk+1 (n+1) = yk + hf (tk+1，yk+1(n) n = 0，1，2， 解得yk+1 ， 其中yk+1(0) = yk + hf (tk，yk).（结合前向欧拉法，预报）,例2. 应用后向欧拉法解初值问题,取步长h=0.1，并把计算结果与精确解比较,解：据后向欧拉法,又,计算结果列表（ 为后向欧拉法计算近似值， 为精确值）,负,三. 梯形法及其预估-矫正法,用一阶差商近似地代替函数在一个步长起点和终点的 一阶导数的平均值,梯形公式 （欧拉中点公式）,近似值：,改进欧拉法,显然，梯形公式是隐式法，一般求 需要解方程，常采用迭代法，初值由显式的欧拉公式给出：,然后将 替代梯形公式等式右边出现的,当步长h足够小，且由前向欧拉法计算的已是较好 的近似，则迭代一、二次即可,预报,校正,迭代次数,几何意义 Euler法折线法 改进Euler法平均斜率折线法,例3. 应用梯形预估-矫正法解初值问题,取步长h=0.1，并把计算结果与精确解比较,解：据前向欧拉法,梯形预估-矫正,计算结果列表（ 为梯形预估-矫正法计算 近似值， 为精确值）,function T Y=Trapezia_reckon(odefun,ab,ya,M) % odefun: 微分方程 a、b：计算区间 % ya：初值 y(a) M：等分数目 % T: 离散的时间变量 Y梯形公式的预估校正法解 h=(ab(2)-ab(1)/M; 步长 T=zeros(1,M+1);Y=zeros(1,M+1); T=ab(1):h:ab(2); Y(1)=ya; for j=1:M k1=feval(odefun,T(j),Y(j); k2=feval(odefun,T(j+1),Y(j)+h*k1); Y(j+1)=Y(j)+(h/2)*(k1+k2); end,Function y=euler_3_3_2(t,x) y=2/t*x+t2*exp(t ）,T Y=Trapezia_reckon (' euler_3_3_2',1 2,0,10),不同求解器的特点,在用常微分方程描述一个电路的暂态过程时，往往又包含着多个变化速度相差十分悬殊的子过程，这样一类过程就认为具有“刚性(stiff)”，描述这类过程的微分方程称为“刚性问题”。 例如，电路某一变量以e-t缓慢衰减，而另一变量以e-1000t快速衰减，两变量时间常数相差很大，建立的常微分方程就具有“刚性”。 刚性问题数值解的稳定性通常被最快的模式控制，刚性问题解答的难度就在于其快变子过程的干扰。当我们试图在慢变区间上求解刚性问题时，尽管快变分量的值已衰减到微不足道，但这种快速变化的干扰仍严重影响数值解的稳定性和精度，一般地说，隐型方法比显型方法具有更大的稳定性，因此使用隐型方法求解刚性方程组更为合适. 在MATLAB中，ode23t、ode15s、ode23s、ode23tb适合求解刚性问题。,
