【练闯考】九年级下册数学（北师大）教案：二次函数图像及性质(1)

2.2 二次函数的图像及性质 第一课时 §2.2.1 二次函数的图像及性质教学目标 【知识与技能】1、 能够利用描点法作出函数y=x2的图像.能够根据图像认识和理解二次函数y=x2的性质.2、 猜想并能作出y=-x2的图像，能比较它与y=x2的图像的异同. 【过程与方法】 1经历探索二次函数yx2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验2由函数y=x2的图象及性质，对比地学习y-x2的图象及性质，并能比较出它们的异同点，培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维【情感、态度与价值观要求】 1通过学生自己的探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解2在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质学情分析 教学重点、难点 重点： 1能够利用描点法作出函数y=x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数yx2的性质 2能够作出二次函数y=-x2的图象，并能比较它与y=x2的图象的异同难点：经历探索二次函数y=x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验并把这种经验运用于研究二次函数y=-x2的图象与性质方面，实现“探索经验运用”的思维过程关键：利用描点法作正确出函数y=x2和y-x2的图象，根据图象认识和理解二次函数yx2和y-x2的性质突破方法：通过学生自主动手列表、描点、连线等操作，正确作出函数图像，对图像进行观察、总结.最后得出的性质.教法与学法导航教学方法：采用“探索-总结-运用法”为主线的教学方法.通过设置活动，引导学生动手、分析、类比，得出二次函数y=x2的图像和性质. 学习方法：由学生自己思考，动手操作，合作交流得出结论.教学准备教师准备：幻灯片4张 第一张：(记作§22 A)第二张：(记作§22 B)第三张：(记作§22 C) 第四张：(记作§22 D)学生准备：两张直角坐标纸画图工具。教学过程 一创设问题情境，引入新课 师我们在学习了正比例函数，一次函数与反比例函数的定义后，研究了它们各自的图象特征知道正比例函数的图象是过原点的一条直线，一般的一次函数的图象是不过原点的一条直线，反比例函数的图象是两条双曲线上节课我们学习了二次函数的一般形式为yax2+bx+c(其中a，b，c是常数且a0)，那么它的图象是否也为直线或双曲线呢?本节课我们将一起来研究有关问题 二新课讲解 （一）、作函数yx2的图象 师一次函数的图象是一条直线，二次函数的图象是什么形状呢?让我们先看最简单的二次函数yx2 大家还记得画函数图象的一般步骤吗? 生记得，是列表，描点，连线 师非常正确，下面就请大家按上面的步骤作出y=x2的图象 生(1)列表：x-3-2-10123y9410149(2)在直角坐标系中描点§22 A (3)用光滑的，曲线连接各点，便得到函数yx2的图象师画的非常漂亮【设计意图】让学生通过自己动手操作，小组内进行对比，认识二次函数的图像，为探索二次函数图像和性质作准备. （二）、议一议 投影片：(§22 A)对于二次函数yx2的图象，(1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流(2)图象与x轴有交点吗?如果有，交点坐标是什么?(3)当x<0时，随着x值的增大，y的值如何变化?当x>0时呢?(4)当x取什么值时，y的值最小?最小值是什么?你是如何知道的?(5)图象是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?请你找出几对对称点，并与同伴进行交流 生(1)图象的形状是一条曲线就像抛出的物体所行进的路线的倒影 (2)图象与x轴有交点，交于原点，交点坐标是(0，0) (3)当x<0时，图象在y轴的左侧，随着x值的增大，y的值逐渐减小；当x>0时，图象在y轴的右侧，随着x值的增大，y的值逐渐增大。 (4)观察图象可知，当x0时，y的值最小，最小值是0 (5)由图可知，图象是轴对称图形，它的对称轴是y轴，从刚才的列表中可找到对应点(-1，1)和(1，1)；(-2，4)和(2，4)；(-3，9)和(3，9) 师大家的分析判断能力很棒，下面我们系统地总结一下 （三）、y=x2的图象的性质投影片：(§22 B) 师从图象来看抛物线的开口方向向上 下面请大家讨论之后系统地总结出yx2的图象的所有性质 生(1)抛物线的开口方向是向上 (2)它的图象有最低点，最低点坐标是(0，0) (3)它是轴对称图形，对称轴是y轴在对称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大 (4)图象与x轴有交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，称为抛物线的顶点，同时也是图象的最低点，坐标为(0，0)(5) 因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x0时，y最小=0要点注意：在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接【设计意图】通过“议一议”可以加强学生的注意力，培养学生“观察-分析-发现-总结”的数学学习理念，同时对二次函数图像的性质有一个更深入的理解和认识. （四）、做一做. 投影片：(§22 C)二次函数y=-x2的图象是什么形状?先想一想，然后作出它的图象它与二次函数y=x2的图象有什么关系?与同伴进行交流 师请大家按照画图象的步骤作出函数y=-x2的图象 生y=-x2的图象如右图： 形状还是抛物线，只是它的开口方向向下，它与y=x2的图象形状相同，方向相反，这两个图形可以看成是关于x轴对称 师下面我们试着讨论y=-x2的图象的性质 生(1)它的开口方向向下 (2)它的图象有最高点，最高点坐标为(0，0) (3)它是轴对称图形，对称轴是y轴，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧x随x的增大而减小 (4)图象与x轴有交点，也叫抛物线的顶点，还是图象的最高点，这点的坐标为(0，0) (5)因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x-0时，y最大0 师大家总结得非常棒【设计意图】给学生一个想象的空间，进一步熟练掌握用列表、描点、连线的方法作函数图像.通过教师引导学生归纳总结得出y=-x2的性质. （五）、函数y=x2与y-x2的图象的比较 我们分别作出函数y=x2与y=-x2的图象，并对图象的性质作系统的研究现在我们再来比较一下它们图象的异同点 投影片：(§22 D) 不同点：1 开口方向不同，y=x2开口向上，y=-x2开口向下2函数值随自变量增大的变化趋势不同，在yx2图象中，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大在y=-x2的图象中正好相反3在y=x2中y有最小值，即x=0时y最小0，在y=-x2中y有最大值即当x0时，y最大04y=x2有最低点，y=-x2有最高点相同点：1图象都是抛物线2图象都与x轴交于点(0，0)3图象都关于y轴对称联系：它们的图象关于x轴对称【设计意图】通过对函数y=x2与y-x2的图象的比较加强对二次函数yax2中a的符号与图像之间的关系，同时进一步领会类比思想在数学学习中的作用. 三活动与探究 例1： 已知是二次函数，且当时，y随x的增大而增大（1）求k的值；（2）求顶点坐标和对称轴解 （1）由题意，得， 解得k=2（2）二次函数为，则顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴例2已知正方形周长为Ccm，面积为S cm2（1）求S和C之间的函数关系式，并画出图象；（2）根据图象，求出S=1 cm2时，正方形的周长；（3）根据图象，求出C取何值时，S4 cm2 分析 此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C的取值应在取值范围内解 （1）由题意，得列表：C246814描点、连线，图象如图2622（2）根据图象得S=1 cm2时，正方形的周长是4cm（3）根据图象得，当C8cm时，S4 cm2要点注意：（1）此图象原点处为空心点（2）横轴、纵轴字母应为题中的字母C、S，不要习惯地写成x、y（3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分【设计意图】让学生更好地自主发现并探索二次函数图像的特点，经历知识的形成、建构过程，及时巩固二次函数图像的性质，同时训练学生应用二次函数图像的性质解决数学问题. 四课时小结 本节课我们学习了如下内容： 1画函数y=x2的图象，并对图象的性质作了总结 2画函数y-x2的图象，并研究其性质 3比较yx2与y=-x2的图象的异同点及联系 板书展示§22 二次函数的图像和性质（1）一、1作函数yx2的图象 2议一议(投影片§22 A) 3. yx2的图象的性质(投影片§2.2 B) 4做一做(投影片§22 C) 5. 函数yx2与y=-x2的图象的比较 课堂练习1在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并分别写出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标（1） （2） （3）2（1）函数的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ；（2）函数的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 3底面是边长为x的正方形，高为05cm的长方体的体积为ycm3（1）求y与x之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3