固体物理第4章能带理论

§4-5 紧束缚近似-原子轨道线性组合法 紧束缚近似的出发点是：电子在一个原子附近时，将主要受到该原子场的作用，把其他原子场的作用看成是微扰。 一、模型与微扰计算 完全不考虑原子之间的相互影响，考虑简单晶格，每个元胞中只有一个原子，其格矢为：,，其附近的电子将以原子束缚态,的形式环绕,点运动。,孤立原子某本征态的波动方程为；,（1）,晶体中电子运动的波动方程为：,为处于,格点的单原子势场；,表示整个晶体中的周期性,势场。把方程（1）看成零级近似所满足是方程，,看成微,扰项，因此电子在N个不同的原子附近有N个类似（1）的方程，它们 具有相同的能量,，即出现N重简并。类似简并微扰方法，将共有,化运动的轨道,表示成原子轨道的线性组合（LCAO）：,，代入晶体中共有化波动方程并利用原子轨道的正交归一性有：,作变量代换：,注意到晶格势场的周期性有：,于是有；,注意到该方程组是系数是以,为变量的函数，因此可以令方程组,的解具有：,，代入上述方程组得到；,该能量表达式和m、n无关，表明其为上述波函数对应的能量本征值， 即对于一个确定的,，在周期场中的本征函数和能量本征值为：,考察积分：,中两相距,的两格点上的波函数，显然只有两波函数存在一定重叠时,，积分才不等于零。重叠最完全的是,项，计为,其次为次近邻的格矢量上的波函数，因此：,上式在每一个,对应一个能量本征值，N个不同的,值将使原来一个,扩展成由N个,构成的准连续的能带。,二、 原子能级和能带的对应 1、在晶体中每个原子能级扩展成一个能带，同前面近自由电子近似 的结论类似，愈低的能带愈窄，愈高的能带愈宽。这是由于能量最低 的带对应于最内层的电子，它们的电子轨道很小，在不同原子间很少 相互重叠，因此能带较窄。能量较高的外层电子轨道，在不同原子间 将有较多的重叠，从而形成较宽的能带。,2、有时原子能级和能带之间不存在上述一一对应的关系。在前面的 讨论中只考虑了不同格点（原子）相同原子态之间的相互作用二忽略 了不同原子态之间的相互作用。而在形成晶体的过程中，不同原子态 之间可能相互混合。只有不同能级间的能量差远大于微扰作用才近似 成立。通常可以用能带宽度反映微扰作用的大小。对于低能级，能带 宽度较小，表明微扰作用较小，能级和能带之间存在一一对应关系； 对于外层电子，能带较宽，表明微扰作用较大，能级和能带之间的关 系比较复杂。 3、如果是复式格子，能带之间会交叠在一起。 §4-6 晶体能带的对称性 晶体具有对称性，因此晶体中电子的运动状态也有对称性，即本征 函数和本征值也存在对称性。,