高等数学,同济大学第六版,

一、高阶导数的定义问题:变速直线运动的加速度.设s=丁(0,则瞬时速度为(D=一(0)“加速度e是速度“对时间4的变化率.Q(O=v(D=f(OT-.定义如甲函鬓f(m的导刺F(o)在炼*处可昼即仪一扯存在则称广(囊)妹望函娄较(萱)在户鬓处日.记作roo,y志或人52.二阶导数的导敬秒为国国国驿厂(y2成02,一般地可定义函勋(的圆震圭丶R-1阶导数的导数即C“Y=y“-记作)0鲤_气一Co)E仁二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数相应地,(5J秘为罢阶导数;/“(xr)稍为一防导数.求高阶导数原则上无另外方法,需要逐阶逐阶地求,但有时也需要归纳,及掌握一些必要技巧.二、高阶导数求法举例由高阶导数的定义逐步求高阶导数.例1设y=aretanx,弛“0),F“0)._工一1一2x解=认万y=G+H)FFy二二2j一一201+x2J+2x.2(L+x2)2x_2(3x2-(一3727一广l+纂z羿一2,二二(e当|一-十0)(l+繁z)zL=0一(0)=(l+翼z)L=一一z-例z设y=嘉，藁(ZV+，6rR)，求y).解=mxr“J=(mr)=m(m-Dx2.!7二历y)=(繁)1I)77(177一l)_'(+l)算77丿左77一凤一般地,若a实数测(鹫一D.(Q-mz+D.x“1Sz=Eqq1二囊怒飞Q(C-l)'.二'壹萱_友十九R2设y=avr“+aur“+.-+Qix+Q,一刑y=。誓s关标5注意:求n阶导数时,求出13或4阶后,不要急于合并,观察分析结果的规律性,写出n阶导数.例3设y=e翼，了二-1习辙【T5“ey解D.(exj=er,(=(e=er.技(艘翼)()二8覃./1历刃1w引2)y=-_(2)707QG+37“仁刑现_y(9吴e(r>l0l=D例4直接法与间接法设y=(l+鬓)，y一示奠z，亘吏一)'解DX_丁1林。一“吴024j的_刹GGY2(L+xys(DF.规LDIHD(l+)胡或y()-_乏;二二妻(n>10l=1)l1112骨引二一l心东一一()【z蓁20QQ十一红一训-5Resa(丨l(a)"yz(+翼)疃_翼)工(一D7-巩2囊z(+舅)+丨+(_蕙)+丨例5设y=sinx,求y口解=cosx=sin(翼+誓)=sin(鬓+l-誓)J二一sinx=sin(J【+)=sinx+z-吾)“二一cos翼=sin(翼+誓)=s(翼+3誓)y=sin土=sin(x+27Z)=sin(x+4誓)E=S耐工+丑)同理可得(cosr)0“=嶂】s(薰+譬)=s谴x+(菖】)高阶导数的运算法则:设函数x和v具有阶导数,则Dz王D)00=0土p00(4)丝_=.王(2)(Cu)=Cu0(3)(D)00=p心土0一(27丶E划0-DOn-E+Dcoytopom/13万(。ee.蓖布尼兹(Leibniz)公式例6设y=x铑耿，求y胁'解设x=e“,v=x2,则由莱布尼兹公式知yu已(ezx)(z“,_z十20(ezx)ug】_(鬓z)+20C0-工.Grjr+二220e2.x2十20.28e2z.2x|口小应G21=220e2r(r2+20x+95)高阶导数的定义及物理意义;高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式);