[数学]用matlab学习线性代数_线性方程组与矩阵代数
用Matlab学习线性代数线性方程组与矩阵代数实验目的：熟悉线性方程组的解法和矩阵的基本运算及性质验证。Matlab命令：本练习中用到的Matlab命令有：inv，floor，rand，tic，toc，rref，abs，max，round，sum，eye，triu，ones，zeros。本练习引入的运算有：+，-，*，。其中+和-表示通常标量及矩阵的加法和减法运算；*表示标量或矩阵的乘法；对所有元素为实数的矩阵，运算对应于转置运算。若为一个非奇异矩阵(det!=0)且为一个矩阵，则运算等价于。实验内容：1 用Matlab随机生成的矩阵和。求下列指定的，并确定那些矩阵是相等的。你可以利用Matlab计算两个矩阵的差来测试两个矩阵是否相等。（1）C=A*B,D=B*A,G=(A*B),H=(B*A) C=H;D=G；（2）C=A*B,D=(A*B),G=B*A,H=(B*A) C=H;D=G；（3）C=inv(A*B),D=inv(A)*inv(B),G=inv(B*A),H=inv(B)*inv(A)（4）C=inv(A*B),D=inv(A*B),G=inv(A)*inv(B),H=(inv(A)*inv(B)（3）（4）中无相等的2 令 n=200，并使用命令A=floor(10*rand(n); b=sum(A)z=ones(n,1); 注释：（n行一列全为1的矩阵）生成一个矩阵和两个中的向量，它们的元素均为整数。（因为矩阵和向量都很大，我们添加分号来控制输出。（1） 方程组 的真解应为。为什么？ 【A中的每一行的元素之和正好等于对应b的每一列，故z为其一解，又det不等于0，RA=RAb=n，故z为其解】试说明，可在Matlab中利用”运算或计算，然后用计算来求解。比较这两种计算方法的速度和精度。我们将使用Matlab命令tic和toc来测量每一个计算过程消耗的时间。只需要用下面的命令：tic,x=Ab；toctic,y=inv(A)*b; toc 哪一种方法更快？ tic,x=Ab；更快！为了比较这两种方法的精度，可以测量求得的解x和y与真解z接近的程度。利用下面的命令：max(abs(x-z)max(abs(y-z)哪种方法的到的解更精确？>> max(abs(x-z)= 4.0168e-013 更精确！>> max(abs(y-z) = 6.1107e-013（2） 用n=500和n=1000替换（1）中的。 如（1）结果一样！3 令A=floor(10*rand(6)。根据构造，矩阵A将有整数元。将矩阵A的第六列更改，使得矩阵A为奇异的。令B=A，A(:,6)=-sum(B(1:5,:)（1） 设x=ones(6,1),并利用Matlab计算Ax。为什么我们知道A必为奇异的？【因化简列，>列成比例】试说明。通过化为行最简形来判断A是奇异的。（2） 令B=x*1:6，乘积AB应为零矩阵。为什么？【因A的每一行的前五个元素之和等于第六个元素的相反数，且在A上的每一行的元素同乘以相同的数，则仍等于0】试说明。用Matlab的*运算计算AB进行验证。（3） 令C=floor(10*rand(6)和D=B+C，尽管,但乘积AC和AD是相等的。为什么？试说明。计算A*C和A*D，并验证它们确实相等。【此处B为令B=x*1:6；A为A(:,6)=-sum(B(1:5,:)】由于A*B=0；故AC=AD；A(B+C)=AB+AC;4 采用如下方式构造一个矩阵。令B=eye(10)-triu(ones(10),1)， 参见最后附表二：为什么我们知道B必为非奇异的？【上三角矩阵的行列式的值等于对角线上的元素相乘】令C=inv(B)且x=C(:,10)，现在用B(10,1)=-1/256将B进行微小改变。利用Matlab计算乘积Bx。由这个计算结果，你可以得出关于新矩阵B的什么结论？【化简此时B，得行最简式，RB=9<10，可以得出B的第10列（从19行）与x互为相反数，且都是2的指数幂数，且第十行为0，】 它是否为奇异的？【是】 试说明。用Matlab计算它的行最简形。5 生成一个矩阵A：A=floor(20*rand(6)并生成一个向量b：B=floor(20*rand(6,1)-10（1） 因为A是随机生成的，我们可以认为它是非奇异的。那么方程组应有唯一解。用运算“”求解。用Matlab计算A b的行最简形U。比较U的最后一列和解x，结果是什么？【相等】在精确算术运算时，它们应当是相等的。为什么？【行最简式中可写出对应元素的实际含义，对应处的未知元就等于最后的数】试说明。为比较他们两个，计算差U(:,7)-x或用format long考虑它们。（2） 现在改变A，试它成为奇异的。令 A(:,3)=A(:,1:2)*4 3【第一列乘以4加上第二列乘以3替换到第三列上】，利用Matlab计算rref(A b)。方程组有多少组解？【无解】试说明。【RA<RAB】（3） 令 y=floor(20*rand(6,1)-10 且 c=A*y，为什么我们知道方程组Ax=c必为 相容？的？【x此时必有一解y，故为相容的】试说明。计算A c的行最简形U。方程组有多少组解？【无穷多解】试说明。【RA=RA c<6】（4） 由行最简形确定的自由变量应为。通过考察矩阵U对应的方程组，可以求得时所对应的解。将这个解作为列向量输入Matlab中。为检验，计算剩余向量。（5） 令。矩阵U应对应于的行最简形。用求自变量时齐次线性方程组的解（手工计算），并将你的结果输入为向量Z。用A*Z检验你的结论。（6） 令。向量v应为方程组的解。为什么？试说明。用Matlab计算剩余向量来验证v为方程组的解。在这个解中，自由变量的取值是什么？ 【=3】 如何使用向量w和z来求所有可能的方程组的解？【v=w+n*z,其中n为任意实数】试说明。6 考虑下图： （1） 确定图的邻接矩阵A，将其输入Matlab；（2） 计算A2并确定长度为2的路的条数【72】，其起止点分别为：【A2+A中的数值之和，数字表示有几种路径，具体看程序】（3） 计算A4、A6、A8并回答(2)中各种情况长度为4、【368】6、【2362】8、【15800】的路的条数。试推测什么时候从顶点Vi到Vj没有长度为偶数 【即为0】 的路。 【i=1，j=6; i=2,j=5; i=3,j=6或8； i=4,j=7; i=5,j=8;i=6,j=1或3; i=7,j=4; i=8,j=3或6;】（4） 计算A3、A5、A7并回答（2）中各情况长度为3、【154】5、【922】7【6098】的路的条数。你由（3）得到的推测对长度为奇数的路是否成立？【不成立】，试说明【见程序】。推测根据i+j+k的奇偶性，是否存在长度为k的路。【若i+j+k为偶数，不存在；相反，则存在】 【路径见程序】（5） 如果我们在图中增加边V3,V6，V5,V8，新图的邻接矩阵B可首先令B=A，然后令B(3,6)=144, B(6,3)=1, B(5,8)=1, B(8,5)=1，对k=2,3,4,5计算Bk。（4）中的推测在新的图形中是否还是成立的？【不成立】见程序】 （6） 在图中增加V6,V8，并构造得到的图的邻接矩阵C，计算C的幂次，并验证你在(4)中的推测对这个新图是否仍然成立。【不成立】【见程序】7令A=magic(8)，然后计算其行最简形。使得首1对应于前三个变量，且其余的五个变量均为自由的。（1）令c=1:8，通过计算矩阵A c的行最简形确定方程组Ax=c是否相容。方程组是相容的吗？ 【不相容】 试说明。 【RA<RAc】（2）令 b=8 -8 -8 8 8 -8 -8 8;并考虑方程组Ax=b。该方程组应为相容的。通过U=rref(A b)验证。对五个自由变量的任一组取值，我们都应可以得到一组解。事实上，令x2=floor(10*rand(5,1)，若x2表示方程组解的最后5个坐标，则我们由x2求得x1=(x1,x2,x3)。要这样做，只需要令U=rref(A b)。U的非零行对应于分块形式的线性方程组为解此方程组，令V=U(1:3,4:8),c=U(1:3,9)并利用Matlab，根据x2，c和V计算x1。令x=x1;x2，验证x是方程组的解。8令 B=-1,-1;1,1和A=zeros(2),eye(2);eye(2),B 验证B2=0。（1）用Matlab计算A2，A4，A6，A8。猜想用子矩阵E，O和B如何表示分块形式的A2k。用数学归纳法证明你的猜想对任何正整数k都是成立的。（2）用Matlab计算A3，A5，A7和A9。猜想用子矩阵E，O和B如何表示分块形式的A2k-1。用数学归纳法证明你的猜想对任何正整数k都是成立的。9（1） Matlab命令A=floor(10*rand(6),B=A*A将得到元素为整数的对称矩阵。为什么？试说明。【第i行第j列的数等于第i列的数分别乘以第j列的数之和；第j行第i列的数等于第j列的数分别乘以第i列的数之和，故为对称矩阵】用这种方法计算B来验证结论，然后将B划分成四个3x3的子矩阵。在Matlab中求子矩阵，令 B11=B(1:3,1:3),B12=B(1:3,4:6)并用B的第四行到第6行类似定义B21和B22。（2）令 C=inv(B11)。应有CT=C和B21T=B12。为什么？【对称阵的逆矩阵与该逆矩阵的转置是相等的，B12的第i行的数等于B21的第i列的数】试说明。用Matlab运算符计算转置，并验证结论。然后，令G=B21*C 和 H=B22-B21*C*B21利用Matlab函数eye和zeros构造计算W=L*D*L，并通过计算W-B与B进行比较。证明：若用算术运算精确计算LDLT，它应准确等于B。附表：第一题：（1）>> A=rand(4);>> B=rand(4);>> C=A*B;>> D=B*A;>> G=(A'*B')'>> H=(B'*A')'>> C-Dans = 2.2376e-001 4.7289e-001 1.3979e+000 1.3204e+000 -6.3633e-001 -3.0354e-001 2.2485e-002 -1.5056e-001 -1.7227e-001 -1.1938e-001 2.9484e-001 2.3624e-001 -8.7955e-001 -6.5016e-001 8.0370e-002 -2.1506e-001>> C-Gans = 2.2376e-001 4.7289e-001 1.3979e+000 1.3204e+000 -6.3633e-001 -3.0354e-001 2.2485e-002 -1.5056e-001 -1.7227e-001 -1.1938e-001 2.9484e-001 2.3624e-001 -8.7955e-001 -6.5016e-001 8.0370
