导数的应用1 高中数学选修1-1课件资源

导数的实际应用,知识与技能目标：通过实例了解利用导数解决最优化问题的步骤； 过程与方法目标：多让学生举例说明，培养他们的辨析能力，以及培养他们分析问题和解决问题的能力； 情感、态度与价值观：通过学生的参与，了解数学知识来源于生活，又服务于生活，从而培养学生的应用意识提高学习数学的兴趣。激发学生学习数学的兴趣。,教学目标,教学重点 利用导数知识解决实际中的最优化问题,教学难点 建立函数模型，并利用导数知识求最值。,1、函数的最值,定义 在区间 a, b 上的连续函数 f (x), 如果在点 x0 处的函数值 f (x0) 与区间上其余各点的函数值 f (x) 相比较，都有,(1)如果 f (x) f (x0) 成立, 则称 f (x0) 为 f (x)在a, b 上的最大值, 称点 x0 为 f (x)在a, b 上的最大点.,(2)如果 f (x) f (x0) 成立, 则称 f (x0) 为 f (x)在a, b 上的最小值, 称点 x0 为 f (x) 在a, b 上的最小点.,最大值和最小值统称最值.,知识链接,2、求函数 f (x) 在a, b上最值的一般步骤是:,(1)求出 f (x) 在 (a, b) 内的所有极值( 或求出 f (x) 在 (a, b) 内的所有可能极值点处的函数值, 可以不判定是不是极值 );,(2)求出函数值 f (a), f (b) ;,(3)比较 f (a)、f (b) 和所有极值( 或所有可能极值点处的函数值 )的大小, 其中最大者为最大值, 最小者为最小值.,实际问题,数学化,数学模型,求解数学模型,实际问题的结论,运用数学知识,思想、方法,还原 检验,3、解决实际问题的一般思路：,课前预习,导数在实际生活中有着广泛的应用,利用导数求最值的方法,可以求出实际生活中的某些最优化问题.,1.几何方面的应用,3.物理方面的应用.,2.经济学方面的应用,(面积和体积等的最值),(利润方面最值),(功和功率等最值),1、用导数解决生活中的几何最优化问题,例 1 用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒, 在铁皮的四周各截去面积相等的小正方形，然后把四周折起, 焊成铁盒. 问在四周截去多大的正方形, 才能使所做的铁盒容积最大?,解 设截去的小正方形的边长为 x(cm),铁 皮容积为 V (cm3 ), 根据题意有,V = x(48-2x)2， x(0, 24),问题归结为求 x 为何值时,函数V 在区间(0, 24) 内取得最大值.,V = (48-2x)2+2x(48-2x)(-2) =12(24-x)(8-x),令V = 0，即令12(24-x)(8-x)=0,解得： x，x（舍）,x在区间（，）内，x可能是极值点。且： 当：x时，V 0；当x时，V 0,因此x = 8是极大值点，且在(0, 24)内唯一的极值点，所以x = 8 是其体积的最大值点。,因此,当截去的正方形边长为 8cm时, 铁盒容积最大.,探究引申：用边长为a 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒, 在铁皮的四周各截去面积相等的小正方形，然后把四周折起, 焊成铁盒. 问在四周截去多大的正方形, 才能使所做的铁盒容积最大?,x 在区间（， ）内，x可能是极值点。且： 当：x x时，V 0；当x1x 时，V 0,因此x = 是极大值点，且在(0, )内唯一的极 值点，所以x = 是其体积的最大值点。,因此,当截去的正方形边长为 时, 铁盒容积最大.,用导数解最值应用题，一般分为五个步骤： 1、通过建立实际问题的数学模型，写出变量间的函数关系式y=f(x)； 2、求导函数y/； 3、令y/=0，求出相应的x0； 4、指出x=x0处是最值点的理由； 5、对题目所问作出回答，求实际问题中的最值问题时，可以根据实际意义确定取得最值时变量的取值。,注意：,1、得出函数关系式后，必须从实际意义确定自变量的定义域。,2、问题求解中所得出的结果要符合问题的实际意义。,总之，实际问题一定要从实际出发。,3、在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f/(x)=0的情形，如果函数在这点有极值，如不予端点值比较，可作为最值。,探究提升,例2 一正方形内接于另一固定的正方形（顶点分别在四边上），问内接正方形的一边与固定正方形一边的夹角取什么值时，内接正方形的面积最小？（如图）,a,b,探究一：,设其固定正方形与内接正方形的边夹角为x，面积可以表示成什么形式？夹角为多少时，其面积最小？,a,b,x,a,b,l,探究二:,设其内接正方形的对角线长为l,面积可以表示成什么形式？l为多少时，边与边的夹角为多少时，其面积最小？,直击高考,（重庆高考）用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2:1，问该长方形的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？,反思：数学的应用题越来越成为高考的热点问题，同学们在学习中应主动培养“学数学，用数学”的意识，而解决数学应用问题的关键就是数学建模和解题过程。,课堂小结,求面积、体积的最大值问题是生活、生产中常见问题，解决这类问题的关键是根据题设确定出自变量及其取值范围，利用几何性质写出面积或体积关于自变量的函数，利用导数求解。,课后作业,课本P101 练习A 2,3,