平面向量的数量积及平面向量应用举例1

第 3 讲 平面向量的数量积及平面向量应用举例,1理解平面向量数量积的含义及其物理意义 2了解平面向量的数量积与向量投影的关系 3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算 4能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向 量的垂直关系 5会用向量方法解决某些简单的平面几何问题 6会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题,1理解平面向量数量积的含义及其物理意义 2了解平面向量的数量积与向量投影的关系 (课本P107 由力做功的计算理解数量积的物理意义； 课本P108 两个向量的夹角及范围；区分向量a在向量b方向上的正射影的数量与向量b在向量a方向上的正射影的数量。 向量数量积定义) 3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算 4能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向 量的垂直关系 （课本P110注意数量积运算律不满足结合律即（a·b）·c=a·（b·c）（×） 课本P112 向量数量积有关的坐标运算公式 看一下例1 例2 例3 例4） 完成三维设计的理要点与究疑点（以上内容的复习必须在20分钟内完成） 5会用向量方法解决某些简单的平面几何问题 6会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题,平面向量的数量积,向量数量积(内积)的坐标运算 a(a1，a2)，b(b1，b2) a·b ； ab ； |a| ，|b| ； 设A(x1，y1)，B(x2，y2)则 ， | | .,a1b1a2b2,a1b1a2b20,(x2x1，y2y1),思考探究1 在ABC中，设 a， b，则a与b的夹角为ABC吗？,提示：不是.求两向量的夹角时，两向量的起点应相同，向量a与b的夹角为ABC.,思考探究2 若ab，则a与b的数量积有何特点？,提示：若ab，则a与b的夹角为0°或180°， a·b|a|b|或a·b|a|b|.,思考探究3 向量的数量积是一个数量，它的符号是怎样确定的？ 答案：当a，b为非零向量时，a·b的符号由夹角的余弦来确定；当0°0；当90°180°时，a·b0；当a与b至少有一个为零向量或90°时，a·b0.,联动体验 1已知a(2,3)，b(4,7)，则a在b上的投影为 ( ) 解析：设a和b的夹角为，|a|cos |a| 答案：C 2(2010·新课标全国卷)a，b为平面向量，已知a(4,3)，2ab(3,18)，则 a，b夹角的余弦值等于 ( ) 解析：设b(x，y)，则有2ab(8x,6y)(3,18)， 解得b(5,12)，故cosa，b 答案：C,3设向量a和b的长度分别为4和3，夹角为60°，则|ab|的值为 ( ) 解析：|ab|2a22a·b|b|2 a22|a|b|cos 60°|b|2 162×4×3×9 37 |ab| . 答案：C 4向量m(x5,1)，n(4，x)，mn，则x等于 ( ) A1 B2 C3 D4 解析：由m·n0，得4(x5)x0，x4. 答案：D 5已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|2，|b| ，则向量a和向量b的数量 积a·b_. 答案：3,【例1】 (1)在直角三角形ABC中，C90°，AB5，AC4，求 ； (2)若a(3，4)，b(2,1)，试求(a2b)·(2a3b) 解：(1)在ABC中，C90°，AB5，AC4，故BC3， 且cos ABC ， 的夹角ABC， cos ABC5×3× 9. (2)方法一：a2b(3，4)2(2,1)(1，6)， 2a3b2(3，4)3(2,1)(12，5)， (a2b)·(2a3b)(1)×12(6)×(5)18. 方法二：(a2b)·(2a3b)2a2a·b6b2232(4)23×2 (4)×16(2212)18.,考向一 平面向量的数量积的运算,反思感悟：善于总结，养成习惯 平面向量的数量积的运算有两种形式，一是依据长度与夹角，二是利 用坐标来计算，具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择 迁移发散 1已知A(3,0)，B(0,3)，C(cos ，sin ) 若 1，求sin 2的值 解： (cos 3，sin )， (cos ，sin 3)， cos (cos 3)sin (sin 3)13(cos sin )1. sin cos ，两边平方得sin 2 .,考向二 利用平面向量的数量积解决垂直问题,【例2】 已知向量a(1,2)，b(2,1)，k，t为正实数，向量xa (t21)b， ykab，且xy，求k的最小值 解：a(1,2)，b(2,1)，a·b0， t为正实数，k 2，当且仅当t1时，k2，k的最小值为2.,反思感悟：善于总结，养成习惯 1两个非零向量互相垂直的充要条件是它们的数量积为零因此，可以将证两向量 的垂直问题，转化为证明两个向量的数量积为零 2向量的坐标表示与运算可以大大简化数量积的运算，由于有关长度、角度和垂直 的问题可以利用向量的数量积来解决，因此，我们可以利用向量的坐标研究有关 长度、角度和垂直问题,迁移发散 2在直角ABC中，已知(2,3)，(1，k)，求k的值,考向三 平面向量的夹角与模的问题,反思感悟：善于总结，养成习惯 1求向量的夹角的两种表示方式 当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求得a·b及|a|，|b|或得出它 们的关系 若已知a与b的坐标，则可直接利用公式 来求夹角 2利用数量积求向量的模，可考虑以下方法 a|a|2a2a·a； b|a±b|2a2±2a·bb2； c若a(x，y)，则|a|,考向四 平面向量的数量积与三角交汇问题,【例4】 (2010·青岛二模)设角A，B，C是ABC的三个内角，已知向量m(sin Asin C，sin Bsin A)，n(sin Asin C，sin B)，且mn. (1)求角C的大小； (2)若向量s(0，1)，t(cos A,2cos2 )，试求|st|的取值范围,反思感悟：善于总结，养成习惯 向量与三角结合是高考考查的重点，常以向量为载体，利用向量的数量积的运 算，向量的垂直等条件来进行三角的考查，复习时应重视,课堂总结 感悟提升 1向量数量积a·b与实数a，b乘积a·b不同由a·b0，并不能得出a0或b 0，因为两非零向量夹角为90°时，数量积也为0. 2可以用向量的数量积公式解决有关夹角和垂直问题，但要注意两种公式的灵活运 用 3利用向量垂直的充要条件研究几何中线与线垂直的问题，常建立适当的坐标系， 得到简单的向量坐标表示，减少运算量，实现了平面几何问题转化为向量的运 算 4从高考题来看，小题常考查向量的数量积a·b|a|b|cos 的灵活运 用，常 以平面图形为背景同时考查向量的线性运算，或考查与数量积有关的运算解答 题常以坐标形式出现，与其他知识有机结合，考查知识综合运用的能力,