福州大学线性代数
第 一 章 行 列 式,(Determinant),§1 二阶与三阶行列式,一、二阶行列式,二、三阶行列式,用消元法解二元线性方程组,一、二阶行列式的引入,方程组的解为,由方程组的四个系数确定.,由四个数排成二行二列（横排称行(row)、 竖排称列(column)的数表,1. 定义,即,aij 称为行列式(5)的元素或元.,aij 的第一个下标 i 称为行标.,aij 的第二个下标 j 称为列标.,行列式第 i 行第 j 列的元素 aij 称为行列式(5)的 ( i ,j ) 元.,主对角线,副对角线,对角线法则,2. 二阶行列式的计算,若记,对于二元线性方程组,系数行列式,二元线性方程组的解为,注意 分母都为原方程组的系数行列式.,3. 则当系数行列式,例1,解,二、三阶行列式,1. 定义,记,（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.,(1) 对角线法则,2. 三阶行列式的计算,注意 红线上三元素的乘积冠以正号， 蓝线上三元素的乘积冠以负号,(2) 沙路法,说明 (1) 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,(2) 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行, 不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项 为负.,例2,解,方程左端,§2 全排列及其逆序数,一、概念的引入,二、全排列,三、排列逆序数,一、全排列,问题,定义,把 个不同的元素排成一列，叫做这 个元素的全排列（或排列）.,个不同的元素的所有排列的种数，通常用 表示.,同理,1. 由1,2,n-1,n（n个数）组成的一个全排列称 为一个n级排列。,如：12345，54321，43512均为5级排列,2. 123(n-1)n(具有自然顺序的排列为)标准排列。,二、排列的逆序数,n 个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.,(即：大的数在小的数左边，则这两数构成一个逆序）,2. 定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.,3. 排列的奇偶性,逆序数为奇数的排列称为奇排列;,逆序数为偶数的排列称为偶排列.,4.计算排列逆序数的方法,则其逆序数为,例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的 奇偶性.,例1 求排列 32514 的逆序数.,§3 n 阶行列式的定义,一、三阶行列式的结构,二、n 阶行列式的定义,一、 三阶行列式的结构,三阶行列式,说明,（1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项,（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积,（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列,例如,列标排列的逆序数为,列标排列的逆序数为,偶排列,奇排列,二、n 阶行列式的定义,1. 定义,解:,例 计算行列式,例4 证明,(2),(1) 对角行列式,注意,例5 计算上三角行列式,分析,展开式中项的一般形式是,所以不为零的项只有,解,例5 计算上三角行列式,解,例6,同理可得下三角行列式,上三角行列式和下三角行列式统称为三角行列式,1 、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的.,2、n 阶行列式共有 n! 项，每项都是位于不同行、不同列 的 n 个元素的乘积,正负号由列标排列的逆序数决定.,小结,3、n 阶行列式的定义很抽象，只要能够知道定义式中各符号的意义就可以了.,思考题,已知,思考题解答,解,含 的项有两项,即,对应于,§4 对 换,一、对换的定义,二、对换与排列的奇偶性的关系,一、对换的定义,定义,在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换,将相邻两个元素对调，叫做相邻对换,例如,二、对换与排列的奇偶性的关系,定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性,定理2 阶行列式也可定义为,其中 为行标排列 的逆序数.,§5 行列式的性质,一、定义,二、行列式的性质,三、应用举例,一、定义,行列式 称为行列式 的转置行列式.,记,二、行列式的性质,性质1 行列式与它的转置行列式相等.,说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此 行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.,推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.,证明,互换相同的两行，有,性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式.,推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面,性质 行列式中如果有两行（列）元素对应成比例，则此行列式为零,性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.,则D等于下列两个行列式之和：,例如,性质 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式值不变,例如,三、应用举例,计算行列式常用方法 利用运算 把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,例1,例2 计算5阶行列式,解,例3,证明,证明,计算行列式常用方法,三、小结,(1) 利用定义;,(2) 利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,
