条件分布与独立性

第二节 条件分布,第三章 多维随机变量及其分布,一、提出问题,考察二维随机变量(X,Y)时,常常需要考 虑已知其中一个随机变量取得某值的条件下求另一个随机变量取值的概率.随机事件有条件概率问题.怎样研究随机变量的条件分布问题？,二、预备知识,1.事件的条件概率计算公式，拉格朗 日中值公式，概率密度与分布函数关系；,2.事件的独立性，联合分布率与联合 概率密度，边缘分布率与边缘概率密度.,考察二维随机变量(X, Y )时, 常常需要考虑已知其中一个随机变量取得某值的条件下, 求另一个随机变量取值的概率, 另外, 我们由事件的条件概率也很自然地引出条件概率分布的概念.,三、建立理论与方法应用,分析定义： 设A, B为随机试验E的两个事件, 且P(A)0, 则称 P(B|A)= 为在事件A发生的条件下事件B发生的条件 概率.,(一) 离散型随机变量的条件分布律,设(X, Y )是一个二维离散型随机变量, 其 分布律为,(X, Y)关于X和Y的边缘分布律分别为,我们由事件的条件概率给出随机变量的 条件概率分布的概念.,定义1 对于固定的j, 若,对于固定的i,若,例1 设某工厂每天工作时间X可分为6小时、8小时、10小时和12小时, 工人的工作效率Y可以按50%、70%、90%分为三类. 已知(X, Y)的概率分布如下：,如果以工作效 率不低于70%的概 率越大越好作为评 判标准,问每天工作 时间以几个小时为 最好？,解,应分别考虑工作时间X等于6,8,10,12时 效率Y的条件分布, 即,先求 (X, Y)的边缘分布律:,计算可得,从表中可以看出PY0.7X=xi的值中, 当xi=8时, 概率,=1-0.083=0.917,最大, 即每天工作8小时, 工作效率达到最优.,(二) 连续型随机变量的条件分布,对二维连续型随机变量,我们也想定义分布函数PXx|Y=y,但是, 由于PY=y=0, 故不能像离散型随机变量那样简单地定义了.自然想到:设A为某一事件,Y为随机变量, 其分布函数为FY(y), 设P y 0 (0), 则由条件概率公式可知,如果当0+时上式极限存在, 则称此极限为事件A在条件Y= y下发生的条件概率, 即,设(X,Y)为二维连续型随机变量,分布函 数为F(x, y), 其概率密度为f (x, y)且连续, 则,由拉格朗日中值定理, 可知,Y= y下X的条件概率密度, 记为,则上式就是在给定条件Y= y下, 随机变量X的 条件分布函数. 而 称为在给定条件,同样, 可得出,得到X=x下Y的条件概率密度,即,综上所述, 我们得到常用的关系:,(1),(2),(3),例2 设G是平面上的有界区域, 其面积 为A. 若二维随机变量(X, Y)具有概率密度,则称(X, Y)在G上服从均匀分布. 现设二维 随机变量(X, Y)在圆域x2 + y21上服从均匀 分布. 求条件概率密度fX|Y(x|y).,且有边缘概率密度,由题设, 随机变量(X, Y)具有概率密度,解,于是，当-1 y 1时, 有,即,当y = 0和y = 时, fX|Y ( x | y )的图形分别 如图3-5, 图3-6所示.,图3-5 例2中y=0时的条件概率密度,图3-6 例2中y= 时的条件概率密度,(1) 二维随机变量(X,Y)在G上服从均匀分布, 其概率密度为,它和一维随机变量X在(a, b)上服从均匀分布的概率密度,在本质上是一致的, 可以推广到三维或更高维情形.,讲评,(2) 对于-1y1时有,而y=-1和y=1时函数 无意义, 但不影响概率或分布函数FX|Y(x|y). 因为对连续型随机变量X，在一点处的概率PX=a=0.,(3) 常错写,而不是 错的原因是fX|Y(x|y)是表示Y=y下的条件概率密度, 即FX|Y(x|y)与Y的取值有关.,例3 设数X在区间(0, 1)上随机地取值, 当观察到X=x (0 x 1)时, 数Y在区间(x, 1) 上随机地取值,求关于Y的边缘概率密度fY (y).,解,由题意, X具有概率密度,对于任意给定的值x(0 x 1), 在X=x的 条件下, Y的条件概率密度为,由(2.7)式得到X和Y的联合概率密度为,因此，得到关于Y的边缘概率密度为,讲评 (1) f(x, y)=fX(x)fY|X(y|x)中0 xy1, 它由fX(x)0的0 x1和fY|X(y|x)0的xy1取交得到0xy1.,扩展 在逻辑关系、概念方面要引起注意.,(2) 此题由条件概率密度和边缘概率密度的乘积求得联合概率密度，进而计算另一个 边缘概率密度.,求 P(X1|Y=y),例4(Ex.) 设(X,Y)的概率密度是,为此, 需求出,由于,于是对y0,故对y0,P(X1|Y=y),P88：1、3、5 .,五、习题布置,第三节 随机变量的独立性,第三章 多维随机变量及其分布,随机变量的独立性是概率论与数理统计中的一个很重要的概念,它是由随机事件的相互独立性引申而来的.我们知道,两个事件A与B是相互独立的,当且仅当它们满足条件P(AB)=P(A)P(B). 由此, 可引出两个随机变量的相互独立性.,设X,Y为两个随机变量,于是Xx,Yy为两个随机事件, 则两事件Xx,Yy相互独立,相当于下式成立 PXx,Yy=PXx PYy, 或写成 F(x,y)=FX(x)FY(y).,定义1 设X,Y是两个随机变量, 其联合分布函数为F(x, y). 若 F(x, y)= FX(x)FY(y), 则称随机变量X与Y相互独立.,具体地, 对离散型与连续型随机变量的 独立性,可分别用分布律与概率密度描述.,定理1 (1)离散型随机变量X与Y相互独立 的充要条件是对于(X, Y)的所有可能取值 (xi, yj),有,PX= xi,Y= yj= PX= xiPY= yj, i j=1,2,. (3.1),(2) 连续型随机变量X与Y相互独立的充要条件是 f (x, y)=fX (x)fY(y) (3.2) 几乎处处成立.,例1 设随机变量(X, Y)的分布律及边缘 分布律如下表：,证明X与Y相互独立.,因此 X, Y是相互独立的.,PX=1, Y=2= = PX=1PY=2,例3 设(X,Y)是二维正态随机变量,它的 概率密度为,试证X与Y相互独立的充要条件是 = 0.,证 由第一节例5知道,边缘概率密度 fX(x)和fY(y)的乘积为,反之， 如果X和Y相互独立,由于f (x,y), fX(x),fY(y)都是连续函数, 故对于所有的x和y有 f (x,y)=fX(x)fY(y).,特别地,令x = 1,y = 2, 由上述等式得到,从而 = 0.,因此, 如果 = 0, 则对于所有的实数x和y, 有 f (x, y)=fX(x)fY(y), 即X和Y相互独立.,讲评 随机变量的独立性往往由实际问题确定. 在独立的情况下, 边缘分布唯一确定联合分布, 这样就将多维随机变量的问题转化为一维随机变量的问题. 所以独立性是非常值得重视的概念之一.,定理2 对于二维正态随机变量(X, Y), X与 Y相互独立的充要条件是参数 = 0.,综上所述, 得到以下的重要结论:,例4(Ex.) 设(X,Y)在区域A(如图)上服从均匀分布，问X和Y是否独立？,解：,例4(Ex.) 设(X,Y)在区域A(如图)上服从均匀分布，问X和Y是否独立？,解：,故 X,Y 不相互独立,关于多个随机变量的有关理论, 可由二维 随机变量的一些概念推广得到.,n维随机变量(X1,X2,Xn)的分布函数定义 为 F(x1, x2, xn)=P X1x1, X2x2, , Xnxn, 其中x1, x2, xn为任意实数.,二、n维随机变量的相关理论,=,则称f (x1, x2, xn)为连续型随机变量(X1, X2, Xn)的概率密度.,设(X1, X2, Xn)的分布函数F(x1, x2, xn)为已知, 则(X1, X2, Xn)的k(1kn)维边缘 分布函数就随之确定.,例如(X1, X2, Xn)关于X1和关于(X1, X2) 的边缘分布函数分别为,又若f(x1, x2, xn)是(X1, X2, Xn)的 概率密度, 则(X1, X2, Xn)关于X1和关于 (X1, X2)的边缘概率密度分别为,定义2 若对于所有的实数x1,x2, xn有,则称随机变量X1, X2, Xn是相互独立的.,对于可列无穷多个随机变量X1, X2, , Xn, , 若其中任何有限多个随机变量都是 相互独立的, 则称随机变量序列X1, X2, , Xn, 相互独立.,以下定理在数理统计中很重要.,定义3 若对于所有的 x1, x2, xm; y1, y2, yn有 F(x1,x2, xm, y1, y2, yn),= F1(x1,x2, xm)F2(y1, y2, yn) (3.8).,其中F1,F2,F依次为随机变量(X1,X2,Xm),(Y1, Y2, Yn)和(X1, X2, Xm, Y1, Y2, Yn) 的分布函数, 则称随机变量(X1, X2, Xm)和 (Y1, Y2, Yn)是相互独立的.,证明略. 例如， (X1, X2)和(Y1, Y2, Y3)独立， 则X1 与Y2独立， X1+2X2与3Y1-Y2+5Y3独立.,设(X1, X2, Xm)和(Y1, Y2, Yn)相互独立, 则 (1) Xi (i =1, 2, , m)和Yj (j =1, 2, , n)相互独立. (2) 又若h, g是连续函数, 则 h (X1,X2,Xm)和g (Y1, Y2, Yn)也相互独立.,定理3,四、小结与思考,本次课主要学习了:,(1) 关于X和Y的相互独立性以及随机向量(X1,X2)与(Y1,Y2)的独立性概念.,(2) 要掌握关于离散型随机变量与连续型 随机变量独立的充要条件.,思考,(1) 联合分布函数和边缘分布函数在X与 Y独立的情况下关系如何? 一般情况下关系 如何?,(2) 离散型随机变量与连续型随机变量相 互独立的充要条件是什么？,五、习题布置,P92：1、3、5 .,