高考专题平面向量中的范围、最值问题-精品之高中数学（理）黄金100题--- 精校解析Word版

第 43题 平面向量中的范围、最值问题I题源探究·黄金母题【例1】给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为点C在以O为圆心的圆弧上变动，若，其中，则的范围是_【解析】由，又，得，而点C在以O为圆心的圆弧上变动，得，于是精彩解读【试题来源】人教A版必修4P102习题2.3B组T4改编【母题评析】本题考查平面向量基本定理、平面向量系数的取值范围、重要不等式，考查考生的分析问题解决问题的能力【思路方法】平面向量中涉及系数的范围问题时要注意利用向量的模、数量积、夹角之间的关系，通过列不等式或等式得系数的不等式，从而求系数的取值范围II考场精彩·真题回放【例2】【2017高考新课标2理12】已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小是 （ ）A B C D【答案】B【解析】解法一（几何法）：如图所示，（为中点），则，要使最小，则，方向相反，即点在线段上，则，即求最大值，又，则，则故选B解法二（解析法）：如图，以为轴，的垂直平分线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，则，设，所以，所以，当时，所求的最小值为，故选B【例3】【2017高考新课标3理12】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上若=+，则+的最大值为 （ ）A3B2C D2【答案】A【解析】如图所示，建立平面直角坐标系设，根据等面积公式可得圆的半径，即圆C的方程是，若满足，即，所以，设，即，点在圆上，所以圆心到直线的距离，即，解得，所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A【例3】【2017高考浙江14】已知向量a，b满足则的最小值是_，最大值是_【答案】4，【解析】设向量的夹角为，由余弦定理有：，则：，令，则，据此可得：，即的最小值是4，最大值是【命题意图】这类题主要考查平面向量数量积或模或夹角或系数的取值范围、最值问题，考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等【难点中心】平面向量中有关范围最值问题的求解通常有两种思路：“形化”，即利用平面向量的几何 意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利 用函数、不等式、方程的有关知识来解决III理论基础·解题原理（1）平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，解决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数的最值，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合（2）三角不等式：；IV题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等【技能方法】向量中的最值、范围问题，实质是给我们过去熟悉的函数的最值、值域问题戴上了一层面纱，却往往让我们找不到问题的切入点，这类问题的解决关键是揭开面纱，转化为函数、不等式或解析几何处理，发现“庐山真面目”求数量积的最值，一般要先利用向量的线性运算，尽可能将所求向量转化为长度和夹角已知的向量，利用向量的数量积运算建立目标函数，利用函数知识求解最值【易错指导】（1）在运算时需注意向量数量积运算不满足交换律和消去律，防止出错（2）两个向量夹角的范围是，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线V举一反三·触类旁通考向1 平面向量数量积的范围、最值问题已知两个非零向量和，它们的夹角为，把数量叫做和的数量积(或内积)，记作即=，规定，数量积的表示一般有三种方法：(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即=；(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则a·bx1x2y1y2；（3）运用平面向量基本定理，将数量积的两个向量用基底表示后，再运算【例1】【2018华南师范大学附属中学高三综合测试】如图，半径为1的扇形中，是弧上的一点，且满足，分别是线段上的动点，则的最大值为（ ）A B C1 D【答案】C【例2】在边长为2的等边三角形中，是的中点，为线段上一动点，则的取值范围为 【分析】利用向量的加法或减法法则，将向量分别表示，结合已知条件设|（），将用变量表示，进而转化为二次函数的值域问题【名师点睛】将用某个变量表示，转化为函数的值域问题，其中选择变量要有可操作性【例3】【2018江苏省泰州中学高三12月月考】在矩形中，若，分别在边，上运动（包括端点，且满足，则的取值范围是_【答案】1，9【跟踪练习】1【2018贵州贵阳花溪清华中学高三月考】已知圆的方程，是椭圆上一点，过作圆的两条切线，切点为，则的取值范围为（ ）A B C D【答案】C【解析】设，设，设，由又的取值范围为，故选C2如图，边长为1的正方形ABCD的顶点A，D分别在轴，轴正半轴上移动，则的最大值是 【答案】23【2018江苏南京市盐城高三一模考】在中，已知，则的最大值为 【答案】【解析】，由余弦定理得：，所以，当且仅当时取等号4【2018浙江杭州地区重点中学高三上学期期中考试】已知中，（）的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是 【答案】【解析】令，当时，因为，所以，则建立直角坐标系，设，则，所以；当时，解得，所以，则建立直角坐标系，设，则，所以综上所述，当时，取得最小值考向2 平面向量模的取值范围、最值问题设，则，向量的模可以利用坐标表示，也可以借助“形”，向量的模指的是有向线段的长度，过可结合平面几何知识求解，尤其注意，如果直接求模不易，可以将向量用基底向量表示再求【例4】【2016高考四川卷】在平面内，定点A，B，C，D满足 =，=-2，动点P，M满足 =1，=，则的最大值是 （ ）A B C D【答案】B方的，故选B【例5】【2018浙江省台州市高三上学期期末】已知，是两个非零向量，且，则的最大值为A B C4 D【答案】B【例6】已知向量满足 与的夹角为，则的最大值为（ ）（A） （B） （C） （D）【分析】根据已知条件可建立直角坐标系，用坐标表示有关点（向量），确定变量满足的等式和目标函数的解析式，结合平面几何知识求最值或范围【解析】设；以OA所在直线为x，O为坐标原点建立平面直角坐标系， 与的夹角为，则A（4，0），B（2，2），设C（x，y），x2+y2-6x-2y+9=0，即（x-3）2+（y-1）2=1表示以（3，1）为圆心，以1为半径的圆，表示点A，C的距离即圆上的点与点A（4，0）的距离圆心到B的距离为，的最大值为，故选：D【名师点睛】建立直角坐标系的原则是能准确快捷地表示有关向量或点的坐标，正确找到变量间的关系，以及目标函数代表的几何意义是解题关键【跟踪练习】1【2018河北省定州中学高中毕业班上学期期中】设向量满足，则的最大值等于（ ）A4 B2 C D1【答案】A2【2018湖南师大附中高三上学期月考】已知为单位向量，且，向量满足，则的范围为（ ）A B C D【答案】B【解析】如图，又，故选BABO3【2018山东省济南高三上学期期末】已知平面上的两个向量和满足，且，若向量，且，则的最大值为_【答案】【解析】4已知向量，则的最大值，最小值分别是_【答案】5【2018湖南师范大学附属中学高三上学期月考】已知向量夹角为，对任意，有，则的最小值是_【答案】【解析】 ，表示与的距离之和的倍，当共线时，取得最小值，即有，故答案为考向3 平面向量夹角的取值范围、最值问题设，且的夹角为，则【例7】已知向量与的夹角为，时取得最小值，当时，夹角的取值范围为（ ）A B C D【分析】将表示为变量的二次函数，转化为求二次函数的最小值问题，当时，取最小值，由已知条件，得关于夹角的不等式，解不等式得解 【名师点睛】求变量的取值范围、最值，往往要将目标函数用某个变量表示，转化为求函数的最值问题，期间要注意变量之间的关系，进而得解【跟踪练习】1【2018辽宁省沈阳东北育才学校高三上二模】已知非零向量满足，若函数 在R 上存在极值，则和夹角的取值范围为（ ）A B C D 【答案】B【解析】，设和夹角为，因为有极值，所以，即，即，所以2非零向量满足=，则的夹角的最小值是 【答案】【解析】由题意得，整理得，即，夹角的最小值为3【2018福建福州外国语学校高三上学期期中】已知向量满足，且关于的函数在实数集上单调递增，则向量的夹角的取值范围是（ ）A B C D【答案】C考向4 平面向量系数的取值范围、最值问题平面向量中涉及系数的范围问题时，要注意利用向量的模、数量积、夹角之间的关系，通过列不等式或等式得系数的不等式，从而求系数的取值范围【例8】【2018安徽省淮南市高三第一次（2月）模拟】已知是的重心，过点作直线与，交于点，且，则的最小值是( )A B C D【答案】D【解析】如图 三点共线， 是的重心， 解得， 结合图象可知 令 故 故，当且仅当等号成立，故选D【例9】【2018山西省芮城中学高三上学期期中】长度都为的向量，的夹角为，点在以为圆心的圆弧（劣弧）上，则的最大值是（ ）A B C D【答案】B【例10】已知，且与的夹角为锐角，则的取值范围是 【分析】与的夹角为锐角等价于，且与不共线同向，所以由，得，再除去与共线同向的情形【解析】由于与的夹角为锐角，且与不共线同向，由，解得，当向量与共线时，得，得，因此的取值范围是且【名师点睛】注意向量夹角与三角形内角的区别，向量夹角的范围是，