利用导数证明不等式-高中数学（理）黄金100题---精校解析 Word版

第27题 利用导数证明不等式I题源探究·黄金母题【例1】利用函数的单调性，证明下列不等式：（1），；（2），；（3），；（4），【解析】（1）证明：设，因为，所以在内单调递减，因此，即，（2）证明：设，因为，所以当时，单调递增，；当时，单调递减，；又因此，（3）证明：设，因为，所以，当时，单调递增，；当时，单调递减，；综上，（4）证明：设，因为，所以当时，单调递增，；当时，单调递减，；当时，显然 因此，由（3）可知，综上，精彩解读【试题来源】人教版A版选修2-2P31习题13B组第1题【母题评析】不等式证明是高中数中常见的一类典型问题，本题考查了如何通过构造函数结合函数的单调性去证明不等式【思路方法】不等式证明常用的基本方法有：综合法、比较法（作差法、作商法）、分析法，本题之后又添一法构造函数法，要注意所构造函数的定义域II考场精彩·真题回放【例1】【2017全国III】已知函数（I）讨论的单调性；（II）当时，证明【答案】（I）当时，在单调递增；当时，则在单调递增，在单调递减；（II）详见解析【解析】试题分析：（I）先求函数导数，再根据导函数符号变化情况讨论单调性：当时，则在单调递增，当时，则在单调递增，在单调递减（II）证明，即证，而，所以目标函数为，即 （），利用导数易得，即得证试题解析：（I），当时，则在单调递增，当时，则在单调递增，在单调递减（II）由（I）知，当时，令 （），则，解得，在单调递增，在单调递减，即，【例2】【2017全国II理】已知函数，且（I）求；（II）证明：存在唯一的极大值点，且【答案】（I）；（II）证明略【解析】试题分析：（I）利用题意结合导函数与原函数的关系可求得，注意验证结果的正确性；（II）结合（I）的结论构造函数，结合的单调性和的解析式即可证得题中的不等式试题解析：（I）的定义域为设，则，等价于因为，因，而，得若，则当时，单调递减；当时，单调递增所以是的极小值点，故综上，（II）由（I）知 ，设，则当 时，；当 时，所以 在 单调递减，在 单调递增又，所以 在 有唯一零点，在 有唯一零点1，且当 时，；当 时，当 时，因为，所以是的唯一极大值点由得，故由 得 因为是在（0，1）的最大值点，由， 得，所以【例3】【2017天津理20】设，已知定义在R上的函数在区间内有一个零点，为的导函数（）求的单调区间；（）设，函数，求证：；（）求证：存在大于0的常数，使得对于任意的正整数，且 满足【答案】（I）增区间是，减区间是；（II）（III）证明见解析【解析】试题分析：由于为，所以判断的单调性，需要对二次求导，根据的导数的符号判断函数的单调性，给出单调区间；由，得，令函数，分别求导证明有关零点问题，利用函数的单调性了解函数的图像情况，对极值作出相应的要求可控制零点的个数试题解析：（）由，可得，进而可得令，解得，或当x变化时，的变化情况如下表：x+-+所以的单调递增区间是和，单调递减区间是（）证明：由，得，令函数，则由（）知，当时，故当时，单调递减；当时，单调递增因此，当时，可得令函数，则由（）知，在上单调递增，故当时，单调递增；当时，单调递减因此，当时，可得所以，（III）证明：对于任意的正整数，且，令，函数由（II）知，当时，在区间内有零点；当时，在区间内有零点所以在内至少有一个零点，不妨设为，则由（I）知在上单调递增，故，于是因为当时，故在上单调递增，所以在区间上除外没有其他的零点，而，故又因为，均为整数，所以是正整数，从而所以所以，只要取，就有【命题意图】本类题通常主要考查利用导数求单调性，利用导数证不等式【考试方向】这类试题在考查题型上，主要是解答题，难度中等；若为压轴题，则难度大作为压轴题，基本上含有参数含有参数的函数导数试题，主要有两个方面：一是根据给出的某些条件求出这些参数值，基本思想方法为方程的思想；二是在确定参数的范围（或取值）使得函数具有某些性质，基本解题思想是函数与方程的思想、分类讨论的思想含有参数的函数导数试题是高考考查函数方程思想、分类讨论思想的主要题型之一【难点中心】利用导数证明不等式常见类型及解题策略：（1）构造差函数根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；（2）根据条件，寻找目标函数一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数III理论基础·解题原理 考点 利用导数解决不等式恒成立问题、证明不等式 导数研究不等式，涉及不等式的证明、不等式的恒成立等问题，主要考查通过转化使用导数研究函数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用 IV题型攻略·深度挖掘【考试方向】含有参数的函数导数试题，主要有两个方面：一是根据给出的某些条件求出这些参数值，基本思想方法为方程的思想；二是在确定参数的范围（或取值）使得函数具有某些性质，基本解题思想是函数与方程的思想、分类讨论的思想含有参数的函数导数试题是高考考查函数方程思想、分类讨论思想的主要题型之一这类试题在考查题型上，通常以解答题的形式出现，难度中等【技能方法】利用导数证明不等式常见类型及解题策略：（1）构造差函数根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；（2）根据条件，寻找目标函数一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数【易错指导】等于含参数的问题，最后结果区间端点到底取不取（即能否取等号），是个难点，易出错注意要验证参数取等号时，函数是否满足题设条件，若满足把取等号的情况加上，否则不加V举一反三·触类旁通考向1 利用函数的单调性证明不等式【例1】【2016高考新课标】设函数（I）讨论的单调性；（II）证明当时，；（III）设，证明当时，（）由题设，设，则令，解得当时，单调递增；当时，单调递减由（）知，故又，故当时，所以当时，考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式的证明与解法【思路点拨】求解导数中的不等式证明问题可考虑：（1）首先通过利用研究函数的单调性，再利用单调性进行证明；（2）根据不等式结构构造新函数，通过求导研究新函数的单调性或最值来证明【例2】【2018河南豫北豫南名校高三上学期精英联考】已知函数（，）有两个不同的零点，（I）求的最值；（II）证明：【答案】（I）见解析；（II）见解析【解析】试题分析：（I）求出导函数，由函数有两个不同的零点，则在内必不单调，得，进而得到函数的单调性，即可求出函数的最值 （II）由题意转化为证明，不妨设，令，只需证明，设，根据函数的单调性，即可作出证明试题解析：（I），有两个不同的零点，在内必不单调，故，此时，解得，在上单增，上单减，无最小值（II）由题知两式相减得，即，故要证，即证，即证，不妨设，令，则只需证，设，则，设，则，在上单减，在上单增，即在时恒成立，原不等式得证点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，不等式的证明，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题；(4)考查数形结合思想的应用【跟踪练习】1【2018北京朝阳区高三一模】已知函数（）若，求曲线在点处的切线方程；（）若，求函数的单调区间；（）若，求证：【答案】（）；（） ；（）证明见解析求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（） ，等价于，等价于，设，只须证成立，利用导数研究函数的单调性，利用单调性求出的最小值，证明最小值大于零即可得结论试题解析：（）若，则，所以在点处的切线方程为（）令，则令，得 (依题意)由，得；由，得所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，因为，所以，所以，即所以函数的单调递增区间为（）由，等价于，等价于设，只须证成立因为由，得有异号两根令其正根为，则在上，在上，则的最小值为又所以则因此即所以所以【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性、证明不等式，属于难题求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点 出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程2【2018河南郑州高三毕业年级第二次质量预测】已知函数（I）求曲线在处的切线方程；（II）求证：当时，【答案】（）；（II）见解析试题解析：（） ， 由题设得，在处的切线方程为（II） ，在上单调递减，在上单调递增，所以，所以在上单调递增，所以过点，且在处的切线方程为，故可猜测：当时，的图象恒在切线的上方下证：当时，设，则，在上单调递减，在上单调递增，又，所以，存在，使得，所以，当时，；当时，故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，又，当且仅当时取等号，故又，即，当时，等号成立【点睛】解本题的关键是第（I）结论对第（II）问的证明铺平了路，只需证明x所以利用导数证明不等式时，要进行适当的变形，特别是变形成第（I）问相似或相同形式时，将有利于快速证明3【2018山东烟台高三下学期高考诊断性测试】已知有两个零点（I）求a的取值范围（II）设x1、x2是f(x)的两个零点，求证证：x1+x2>【答案】（I）；（II）见解析试题解析：（I），当时，此时在单调递增，至多有一个零点当时，令，解得，当时，单调递减，当，单调递增，故当时函数取最小值当时，即，所以至多有一个零点当时，即因为，所以在有一个零点；因为，所以，由于，所以在有一个零点综上，的取值范围是（II）不妨设，由（I）知，构造函数，则 因为，所以，在单调递减所以当时，恒有，即 因为，所以，于是又，且在单调递增，所以，即点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，不等式的证明和不等式的恒成立问题，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、圆等知识联系；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性