高考专题黄金100题解读与扩展系列：专题2 排列问题---精校解析 Word版
www.ks5u.comI题源探究·黄金母题【例1】用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复的三位数？【解析】解法1：由于在没有重复的三位数中，百位上数字不能为0，因此可以分两步完成排列第1步，排百位上的数字，可以从1到9这九个数字中任选1个，有种排法；第2步，排十位和个位上的数字，可以从余下的9个数字中任选2个排在十位与个位，有种排法，根据分步计数原理，所求的三位数的个数为=9×9×8=648.解法2：符合条件的三位数可分为三类，第一类，不含0三位数有个，第二类，十位为0的三位数有个，第三类，个位数为0的三位数有个，根据分类计数原理，所求的三位数的个数为+=648.解法3：从0到9这10个数字中任取3个数字的排列数为，其中0在百位上的排列数为，所求的三位数的个数为-=648.精彩解读【试题来源】人教版A版选修2-3第19页例4【母题评析】本题考查利用计数原理和排列的概念、排列数公式计算排列问题，是基础题【思路方法】因为三位数百位上数字不能为0，思路1：先排百位数字再排十位与个位数字，再用分步计数原理计算所求数字个数；思路2：分三位数中的三个数字不含0、0在十位上、0在个位上三类分别求各类数字个数，再用三角形三边解三角形问题，先用余弦定理求出最大边所对的角，再用正弦定理解出其余两角II考场精彩·真题回放【例2】【2016年高考四川理数】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（A）24 （B）48 （C）60 （D）72【答案】D【名师点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏，分步时要注意整个事件的完成步骤在本题中，个位是特殊位置，第一步应先安排这个位置，第二步再安排其他四个位置.【例3】【2015高考广东，理12】某高三毕业班有人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言（用数字作答）【答案】【解析】依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从人中任选两人的排列数，所以全班共写了条毕业留言，故应填入【考点定位】排列问题【名师点睛】本题主要考查排列问题，属于中档题，解答此题关键在于认清人两两彼此给对方仅写一条毕业留言是个排列问题【例4】【2014辽宁高考理第6题】6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（ ）A144 B120 C72 D24【答案】C【解析】如图，将6把椅子依次编号为1,2,3,4,5,6，故任何两人不相邻的做法，可安排：“1,3,5”；“1,3,6”；“1,4,6”；“2,4,6”号位置做热坐人，故总数由4=24，故选D.【例5】【2014四川高考理第6题】六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（ ）A种 B种 C种 D种【答案】B【解析】最左端排甲，有种排法；最左端排乙，有种排法，共有种排法.选B.【例6】【2014重庆高考理第9题】某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A.72 B.120 C.144 D.168【答案】B【解析】将所有的安排方法分成两类，第一类：歌舞类节目中间不穿插相声节目，有(种)；第二类：歌舞类节目中间穿插相声节目，有(种)；根据分类加法计数原理，共有96+24=120种不同的排法.故选B.【例7】【2013年高考大纲全国，理】6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种.（用数字作答）【答案】480【解析】先排除甲、乙外的4人，方法有种，再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中，有种排法，因此甲、乙不相邻的不同排法有（种）.【命题意图】本类题问题主要考查利用利用排列的概念、排列数公式及计数原理计算与顺序有关的计数问题，考查考生阅读理解能力、运算求解能力和应用意识【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题或概率、随机变量分布列大题的形式出现，难度为中等，考查对基础知识、基本方法的掌握程度【难点中心】解答此类问题的关键是III理论基础·解题原理考点一排列的概念 从个不同元素中取出 ()个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列 全排列：个不同元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列考点二 排列数的定义 从个不同元素中取出 ()个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用表示考点三 排列数公式=，其中且叫做n的阶乘，规定.IV题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题或概率、随机变量分布列大题的形式出现，难度为中等，有时也会与平面几何、立体几何等知识交汇【技能方法】1. 解答排列应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨别是对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列问题，然后逐步解决 2.有限定元素（或限定位置）的排列问题，元素优先法，即首先考虑特殊元素的安排方法，再考虑其他元素的排法；位置优先法，即首先考虑特殊位置的安排方法，再考虑其他位置的排法；间接法，首先求出不加限定条件的排列数，再减去不符合条件的排列数 3.对多个限定条件的排列问题，常用树图法，即用树图或框图列出所有排列（或组合），从而求出排列数，适合限定条件在3个以上，排列组合问题. 4.对某些元素必须相邻排列问题，常用捆绑法，即先把这几个相邻元素捆在一起看成一个元素，再与其他元素全排列，最后再考虑这几个相邻元素的顺序 5.对某些元素互不相邻排列问题，用插空法，即先将普通元素全排列，然后再从排就的每两个元素之间及两端选出若干个空挡插入这些特殊元素 5.某些元素顺序一定排列问题，有三种解法，逐一插入法，即先将这些“特殊元素”按指定顺序排列，再将“普通元素”逐一插入其间或两端；消序法，即先将所有元素全排列，再将特殊元素在其位置上换位情况消去（通常除以特殊元素的全排列数），只保留指定的一种顺序；优序法，即先从所有位置中按“特殊元素”个数选出若干位置，并把这些特殊元素按指定顺序排上去，再将普通元素在其余位置上全排列.6.对数的大小顺序排列问题，用查字典法，即（1）先把每一个数字（符合条件）打头的排列数计算出来；（2）再找下一位数字.【易错指导】1.要区分计数问题是排列问题还是组合问题，与顺序有关的计数问题是排列问题，与顺序无关的计数问题是组合问题，如定序问题实际上组合问题.2.在解排列问题时，首项要分析排列问题的类型，然后选择相应的解法解题.V举一反三·触类旁通考向1 简单排列问题【例1】【2017届贵州铜仁一中高三上学期入学模拟考试数学（理）】2014年11月，北京成功举办了亚太经合组织第二十二次领导人非正式会议，出席会议的有21个国家和地区的领导人或代表其间组委会安排这21位领导人或代表合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，如果对其他领导人或代表所站的位置不做要求，那么不同的排法共有 种（用排列组合表示）【答案】【方法指导】对必须相邻问题，常用“捆绑法”，先将必须相邻元素捆绑在一起看成一个元素，与其他元素排，再排相邻元素之间的顺序.【跟踪训练】【2016届黑龙江哈尔滨一中高三第二次模拟考试数学（理）】七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的排法有_【答案】【解析】不妨令乙丙在甲左侧，先排乙丙两人，有种站法，再取一人站左侧有种站法，余下三人站右侧，有种站法考虑到乙丙在右侧的站法，故总的站法总数是.故答案为.考向 2 一个特殊元素（位置）问题【例2】【2016届山西省高三高考适应性演练三数学（理）】四位男演员与五位女演员（包含女演员甲）排成一排拍照，其中四位男演员互不相邻，且女演员甲不站两端的排法数为（ ）A B C D【答案】A【解析】四位男演员互不相邻可用插入法，有种排法，其中女演员甲站在两端的方法有，因此所求排法数为故选A【名师点睛】对有限制条件的排列问题，我们可以采用优先法、捆绑法、插空法、缩倍法等特殊方法，如本题中有“在”或“不在”等限制条件时，对这种特殊元素或位置首先考虑排列，然后排列其他一般元素或位置，对不相邻问题，先把不受限制的元素排列好，然后把特定元素插在它们之间或两端的空档中【跟踪训练】【2015-2016学年浙江台州市书生中学高二下学期期中】在某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为 【答案】60考向 3 二个特殊元素（位置）问题 【例3】【2016届湖北七市教研协作体高三4月联考试数学（理）】六张卡片上分别写有数字0,1,2,3,4,5，从中任取四张排成一排，可以组成不同的四位奇数的个数为 。【答案】【解析】当所取四位数字不含时，不同的四位奇数的个数为；当所取四位数字含时，不同的四位奇数的个数为,所以不同的四位奇数共有个.【方法指导】对有两个限定条件的问题，常用分类计数原理，分成限定元素A在限定元素B的限定位置和不在B的限定位置两类，每类先排限定元素，再排其他元素.【跟踪训练】【2015-2016学年福建省泉州惠安荷山中学高二下期中理】四个人从左到右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（ ）A B C D【答案】B考向 4 三个以上特殊位置（元素）问题 【例4】【2015-2016学年河南南阳一中高二下第二次月考理】用三个数字组成一个四位数, 规定这三个数必须全部使用, 且同一数字不能相邻出现, 这样的四位数有（ ）A个 B个 C个 D个【答案】B【解析】利用树图法考察四个数位上填充数字的情况，如：，共可确定个四位数，但其中不符合要求的有个，所以，所确定的四位数应有个，选B.【方法指导】对多个限定条件问题，常用树图法或列举法，即将所有情况一一列举出来，即可计算出排列数.【跟踪训练】【2015-2016学年江苏省泰兴一中高二下学期期中理】三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽又被踢回给甲，则不同的传递方式共有 （用数字作答）【答案】6.【解析】若甲先传给乙,则有:甲乙甲乙甲,甲乙甲丙甲,甲乙丙乙甲3种不同的传法,同理甲先传给丙,也有3种不同的传法,共有6种不同的传法.故答案为：6.考向 5 相邻问题【例5】【2016届辽宁省实验中学高三第四次模拟数学（理）】2014年3月8日，马肮航班客机从吉隆坡飞往北
