高考专题黄金100题解读与扩展系列：专题三 组合体的表面积与体积---精校解析 Word版

www.ks5u.com专题三 组合体的表面积与体积I题源探究·黄金母题【例1】一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为，求球的体积【解析】设球的半径为，由正方体与球的组合结构特征知，正方体的体对角线为球的直径，所以，即，所以球的体积为II考场精彩·真题回放【例2】【2016全国新课标卷】在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，则的最大值是（）ABC）6D【答案】B【解析】要使球的体积最大，必须球的半径最大由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值，此时球的体积为，故选B【例3】【2016全国卷】体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（）ABCD【答案】A【解析】因为正方体的体积为8，所以棱长为2，所以正方体的体对角线长为，所以正方体的外接球的半径为，所以球面的表面积为，故选A【例4】【2014陕西高考】已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（）ABCD【答案】D【解析】根据正四棱柱的几何特征得：该球的直径为正四棱柱的体对角线，故，即得，所以该球的体积，故选D【例5】【2014全国大纲卷】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积是()AB16C9D【答案】A【解析】由已知条件可知球心在正四棱锥的高上，设球的半径为，球心为，正四棱锥底面中心为为,则垂直棱锥底面，,所以，解得，所以球的表面积=，故选A【例6】【2013新课标I卷】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )ABCD【答案】 A【解析】设球的半径为，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，球心到截面圆的距离为，则，解得，球的体积为=，故选A【例7】【2013辽宁高考】已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若A，则球的半径为（）AB2CD3【答案】C【解析】由得，则知所在的球的截面圆的圆心在的中点上，同理所在的球的截面圆的圆心在的中点N上，则球心为的中点，故球的半径为=精彩解读【试题来源】人教版A版必修二第28页练习第2题【母题评析】本题是球的正方体构成的组合体问题，因这种题型能充分考查学生的逻辑思维能力与空间想象能力，以及综合分析与解决问题的能力这在高考中常常以单独考查的方式出现在选择题与填空题中，在解答题中通常不会出现【思路方法】根据所涉及到几何体组合的结构特征，寻求代表它们的几何量间的关系，通常建立方程简单的等式来求解，主要体现为方程思想与转化思想的应用【命题意图】本类题主要考查空间几何体结构特征、的表面积与体积的计算，以及考查逻辑思维能力、空间想象能力、运算求解能力、方程思想的应用【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，不会渗透于解答时中，难度中等或中等偏上【难点中心】求组合体的表面积与体积，主要两类难点：（1）不能作出或想象两个几何体间的组合方式与结构特征；（2）不能正确建立两个几何量间的关系III理论基础·解题原理考点一棱体的表面积计算棱体（棱柱、棱锥、棱台）的表面积主要是通过把它们展成平面图形，利用求平面图形的面积法求解n棱柱的展开图由两个全等的边形与个平行四边形组成；棱锥的展开图由一个边形与个共顶点三角形组成；棱台的展开图由两个相似的边形与个梯形组成这些平面图形的面积即为相应的棱柱、棱锥、棱台的表面积特别地，棱长为的正方体的表面积，长、宽、高分别为的长方体的表面积考点二圆体的表面积圆体（圆柱、圆锥、圆台）的表面积公式表现为两部分，即侧面积与底面积，其侧面积可以利用侧面展开图得到其中圆柱的侧面展开图是一个矩形，其宽是圆柱母线的长，长为圆柱底面周长；圆锥的侧面展开图为扇形，其半径为圆锥母线长，弧长为圆锥底面周长；圆台的侧面展开图为扇环，其两弧长分别为圆台的两底周长，两“腰”为圆台的母线长考点三柱体的体积柱体（棱柱、圆柱）的体积由底面积和高确定，即特别地，底面半径是，高是的圆柱的体积是根据公式求棱柱的体积，“定高”是至关重要的考点四锥体的体积锥体（棱锥、圆锥）的体积等于它的底面积是和高的积，即特别地，底面半径是，高是的圆锥的体积是考点五球的体积与表面积根据球的表面积公式与体积公式，知球的表面积和体积只须求一个条件，那就是球的半径R关于两个球的体积比与表面积比之间的转换可转化为球的半径立方比与平方比IV题型攻略·深度挖掘【考试方向】这在高考中常常以单独考查的方式出现在选择题与填空题中，在解答题中通常不会出现【技能方法】1当给出的几何体比较简单时，可直接通过寻求两个几何体的几何量间的关系进行求解；2当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用“割”、“补”的技巧， (1)几何体的“分割”：几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之(2)几何体的“补形”：与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法【易错指导】（1）不能作出或想象两个几何体间的组合方式与结构特征而出现思维上的障碍；（2）不能正确建立两个几何量间的关系而致错V举一反三·触类旁通考向1球与棱柱的组合体【例8】【2016云南第二次统一检测】已知体积为的长方体的八个顶点都在球的球面上，在这个长方体经过同一个顶点的三个面中，如果有两个面的面积分别为、,那么球的体积等于（）ABCD【答案】A【解法指导】长方体（或正方体）外接球的组合问题，主要抓住的几何特征是：长方体（或正方体）的体对角线等于球体的直径【跟踪练习】【2016山西适应性演练三】长方体的8个顶点都在球的表面上，为的中点，且四边形为正方形，则球的直径为_【答案】4或【解析】由于，因此就是异面直线与所成的角，即，设，则，由余弦定理得，解得或， 所以或，此即为球的直径【例9】【2016重庆市巴蜀中学上期期中】一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（）AB CD【答案】C【解析】正方体的体积为8，故边长为2，内切球的半径为1，则表面积，故选C【解法指导】正方体内切球的组合问题，主要抓住的几何特征是：正方体的棱长等于球体的直径【跟踪练习】【2016山西孝义市上期期末】边长为a的正方体的内切球的表面积为_【答案】【解析】内切球的半径，故内切球的表面积【例10】【2016浙江省绍兴县鲁迅中学上期期中】已知一个全面积为24的正方体，有一个与每条棱都相切的球，此球的体积为_【答案】 【解析】由条件知正方体的棱长为2，对于球与正方体的各棱相切，则球的直径为正方体的面对角线长，即，所以【解法指导】正方体的每条棱球相切的组合问题，主要抓住的几何特征是：长方体的面对角线等于球体的直径【跟踪练习】【2016巫山县期末】棱长为3的正方体内有一个球，与正方体的12条棱都相切，则该球的体积为_【答案】【例11】【2016山西太原二模】若正三棱住的所有棱长均为，且其体积为，则此三棱柱外接球的表面积是（）ABCD【答案】B【解析】由题意可得，正棱柱的底面是边长等于的等边三角形，面积为，正棱柱的高为，取三棱柱的两底面中心，连结，取的中点，连结，则为三棱柱外接球的半径是边长为的正三角形，是的中心，又三棱柱外接球的表面积，故选B【技巧点拨】球内接正棱柱的组合体问题，主要抓住的几何特征：正棱柱的上下底面中心连线段的中点与正棱柱的顶点连线为球的半径【跟踪练习】【2016华南师大附中5月】已知直三棱柱的个顶点都在球的球面上，若，则球的表面积为为（）ABCD【答案】C【例12】【2016重庆一中高三下适应性】三棱柱的各个顶点都在球的球面上，且，平面若球的表面积为，则这个三棱柱的体积是（）A B CD【答案】C【解析】由题意可知，三棱柱的底面是边长为的等腰直角三角形，侧棱长为为长方体，可把其补为正四棱柱，则球的半径，所以，所以三棱柱的体积，故选C【技巧点拨】球内接直三棱柱的组合体问题，如果棱柱底面是直角三角形，常常可采用补形法，即将直三棱柱补为一个长方体来解决，主要抓住的几何特征：补形的长方体的体对角线为球的直径【跟踪练习】【2016江西赣中南五校下期2月第一次联考】一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，若该球的体积是，则这个三棱柱的体积是（）ABCD【答案】D考向2球与棱锥的组合体【例13】【2016云南玉溪市第三次质检】已知三棱锥的外接球为球，球的直径，且都是等边三角形，则三棱锥的体积是（）ABCD【答案】A【解析】取外接圆圆心，连接的中点即球心与，由球的性质可知与平面垂直，在中，故又，故到平面的距离，因此，故选A【方法点睛】球内接三棱锥的组合体问题，情况较多，须根据具体题型进行具体分析，如本题条件中已知很明确知道，球的直径为三棱锥的一条棱【跟踪练习】【2016云南师大附中适应性】已知某正四面体的内切球体积是1，则该正四面体的外接球的体积是（）A27B16C9D3【答案】A【解析】设正四面体的外接球、内切球半径分别为，则由题意，则外接球的体积是，故选A【例14】【2017衡水中学高三摸底联考】在四面体中，则该四面体外接球的表面积是（ ）A B C D【答案】D【解析】因为所以，设的中点为，连接，则三角形的外心为在线段上，且，又三角形的外心为，又，所以平面，过垂直于平面的直线与过垂直于平面的直线交于点，则为四面体外接球的球心，在三角形中，由余弦定理得，所以，所以，设外接圆半径为，则，所以，故选D.【方法点睛】解答本题的关键：（1）由条件中垂直确定球心在平面上的投影为的斜边中点；（2）由条件中垂直确定球心在平面上的投影为的外心；（3）由（1）（2）确定出球的球心【跟踪练习】【2016山西太原市二模】已知三棱锥中，底面为边长等于的等边三角形，垂直于底面，那么三棱锥的外接球的表面积为（）ABCD【答案】D【例15】【2016江西赣州市上期期末】在正三棱锥内，有一半球，其底面与正三棱锥的底面重合，且与正三棱锥的三个侧面都相切，若半球的半径为2，则正三棱锥的体积最小时，其高等于_【答案】【解析】由题意，设侧棱长为，底面边长为，化简可得，令，故可知，即当时，三棱锥体积