高考专题对数函数-精品之高中数学（文）黄金100题--- 精校解析Word版

第16题对数函数I题源探究·黄金母题【例1】已知函数，（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性，并说明理由【解析】（1）由，得，函数的定义域为（2）根据（1）知：函数的定义域为函数的定义域关于原点对称又，是上的偶函数精彩解读【试题来源】人教版A版必修一第75页B组第4题【母题评析】本题以对数函数为载体，考查函数的定义域与奇偶性本类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式，能达到考查运算能力以及代数恒等变换能力【思路方法】求含有对数的函数的定义域时，除考虑前面所知晓的分母、根式要求外，还须考虑对数的真数必须大于0判断对数型函数的奇偶性时首先必须确定函数的定义域是否对称，对称的情况下判断与的关系，进而判定II考场精彩·真题回放【例1】【2017高考北京卷】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080则下列各数中与最接近的是（）（参考数据：lg3048）A1033B1053 C1073 D1093【答案】D【解析】设，两边取对数，所以，即最接近，故选D【例2】【2017高考天津卷文理】已知奇函数在上是增函数若，则的大小关系为（）ABCD【答案】【解析】由题意：，且：，据此：，结合函数的单调性有：，即，本题选择C选项【例3】【2017高考新课标II文数】函数的单调递增区间是（）AB C D【答案】D【解析】函数有意义，则，解得或，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调增区间为故选D【例4】【2017高考新课标I文数】已知函数，则A在单调递增B在单调递减C的图像关于直线对称D的图像关于点对称【答案】C【解析】由题意知，所以的图象关于直线对称，C正确，D错误；又（），在上单调递增，在上单调递减，A，B错误，故选C【名师点睛】如果函数，满足，恒有，那么函数的图象有对称轴；如果函数，满足，恒有，那么函数的图象有对称中心【命题意图】本类题考查对数型函数的定义域与奇偶性【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等，往往以考查对数运算构成的对数型函数奇偶性、对数函数的单调性应用、对数函数的图象、在实际生活中的应用【难点中心】（1）处理含有参数的对数型函数的单调性与奇偶性时，常常要运用逆向思维的方法，体现待定系数法的应用；（2）应用对数函数的图象时，常常涉及不太规范的对数型函数的图象，其作法可能较难，常常利用转化思想；（3）解决对数不等式问题的方法就是化为同底的对数或对数的形式，再利用函数的单调性转化为熟悉的代数不等式求解；（4）在实际生活中的应用时如何建立与对数相关的函数模型，也是相对较难III理论基础·解题原理考点一对数与对数的运算性质（1）对数的定义如果（且），那么数叫做以为底，的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数（2）几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为，且常用对数底数为10自然对数底数为2、对数的性质与运算法则（1）对数的性质（）：，（2）对数的运算法则：如果，且，那么：1·；2；3（2）换底公式：（均为大于零且不等于1，）；利用换底公式推导下面的结论（1）推广（2），特例：考点二对数函数的定义函数，且叫做对数函数，其中是自量，函数的定义域是注意：（1）对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别如：，都不是对数函数，而只能称其为对数型函数（2）对数函数对底数的限制：，且考点三对数函数图象与性质图象性质（1）定义域：（2）值域：（3）当时，即过定点（1，0）（4）当时，；当时，（4）当时，；当时，（5）在（0，+）上为增函数（5）在（0，+）上为减函数注：确定图中各函数的底数与1的大小关系提示：作一直线，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数，IV题型攻略·深度挖掘【考试方向】1通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等或中等偏下，往往与函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、图象，以及不等式、方程有联系；2在解答题常常与导数相结合，考查函数的单调性、极值、最值等【技能方法】1转化的思想是一个重要的数学思想，对数式与指数式有着密切的关系，在解决有关问题时，经常进行着两种形式的相互转化，同时要熟练应用公式：，2数式化简与求值的规律含有对数的代数式的化简关键是减少含有对数的项的个数，而含对数的项的合并常用对数的性质，因此，化简要朝这个方向进行一般有如下规律：（1）先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并；（2）熟练地运用对数的三个运算性质和换底公式并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧；（3）指数式与对数式的关系以及这两种形式的互化是对数运算法则的关键3解决与对数函数有关的函数的单调性问题的方法步骤：（1）先求出函数的定义域；（2）判断对数函数的底数与1的关系，当底数是含字母的代数式(包含单独一个字母)时，要考查其单调性，就必须对底数进行分类讨论；（3）判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性4求函数的最值(或值域)（1）直接法：充分利用函数的单调性和图象直接求解（2）转化法：利用运算公式将含有对数式的函数转化为求二次函数最值问题，然后采用配方法求解，但需注意自变量的范围（3）分解法（复合法）：求解步骤：分解成两个函数；求的定义域；求的取值范围；利用的单调性求解【易错指导】1在对数运算中，忽视真数的限制条件，如已知，求的值；2错误利用对数的运算性质，如求值：；3忽视函数中的定义域，如求函数的单调递增区间；4混淆函数定义域与值域的理解，如若函数的值域为，求实数的取值范围；5忽视对含参底数的讨论，如已知函数的最大值比最小值大1，求的值；6忽视复合指数型函数的单调性的复合性，如求的单调区间V举一反三·触类旁通考向1 对数运算性质的应用【例1】【2015高考安徽卷】_【答案】【解析】解法一：原式解法二：【例2】用表示下列各式：（1）；（2）【答案】（1）；（2）【例3】【2018河南南阳一中上学期第三次考试】求值：（1）2lg22+lg2·lg5+lg22-2lg2+1；（2）【答案】（1）1；（2）【解析】（1）原式=lg22lg2+lg5+1-lg2=lg2lg10+1-lg2=1（2）原式【跟踪练习】1已知函数则的值为（）A BCD【答案】【解析】因为所以，选【考点定位】本题考查函数的概念，指数与对数运算等基础知识，意在考查考生的计算能力及分析判断能力能力2【2016高考浙江卷】已知若，则_，_【答案】【技巧归纳】进行对数运算常用的方法：（1）将真数化为底数的指数幂的形式进行化简；（2）将同底对数的和、差、倍合并；（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；（4）利用常用对数中的3【2017吉林梅河口五中高三一模】已知两条直线：和：，与函数的图象从左到右相交于点，与函数的图象从左到右相交于点，记线段和在轴的投影长度分别为，当变化时，的最小值为_【答案】【解析】根据题意得：，所以，即，因为，所以，当且仅当时，即时取等号，所以的最小值为点睛：本题主要考查的是对数的运算及均指不定式的运用，难度适中，属于中等难度题先分别表示出、的坐标，然后表示用、的坐标表示出投影长度、，得到，然后利用均值不等式求得的最小值考向2 求对数型函数的定义域、值域【例4】【2017河北唐山二模】函数的定义域为_【答案】【解析】要使有意义，则，即，即，即，即函数的定义域为【例5】求下列函数的定义域、值域：（1）；（2）【例6】【2018黑龙江双鸭山一中卖不】已知函数（1）求函数的定义域；（2）若函数的最小值为-4，求a的值【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）要使函数有意义，则有解之得函数的定义域；（2）整理可得，则由复合函数的单调性可得的最小值为，由此可解得a的值试题解析；（1）要使函数有意义，则有解之得，所以函数的定义域为（2），由，得，【跟踪练习】1【2016高考全国卷】下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是（）ABC D【答案】D【解析】，定义域与值域均为，只有D满足，故选D2【2015高考湖北卷】函数的定义域为（）ABCD【答案】C【方法归纳】求函数的定义域主要从三个方面考虑：（1）分式中的分母要求不等于0；（2）偶次根式的被开方数要求非负；（3）对数式的真数要求为正数3【2018齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学2018届高三第一次调研】已知函数的定义域为，不等式的解集为，则（）A B C D【答案】B【解析】因为，所以，由可得，所以，所以，故选B4【2017广西南宁金伦中学高三上学期期末考试】函数f(x)=2x-14+ln(1-x)的定义域是（）A-1，2) B(-2，1) C(-2，1 D-2，1)【答案】D【解析】由题意得，1-x>02x-14>0-2x<1，故函数f(x)的定义域为-2，1)，故选D5【2018湖南衡阳八中模拟】设函数f（x）=lg（axbx），且f（1）=lg2，f（2）=lg12（1）求a，b的值（2）当x1，2时，求f（x）的最大值（3）m为何值时，函数g（x）=ax的图象与h（x）=bxm的图象恒有两个交点【答案】（1）a=4，b=2；（2）当x=2时，函数f（x）取最大值lg12，（3）试题解析：（1）f（1）=lg2，f（2）=lg12，f（x）=lg（axbx），解得a=4，b=2；（2）由（1）得：函数f（x）=lg（4x2x），当时，故当，即x=2时，函数f（x）取最大值lg12（3）若函数g（x）=ax的图象与h（x）=bxm的图象恒有两个交点则方程4x2x=m有两个解，令t=2x，则t0，则方程有两个正解；故，解得所以当时，函数g（x）=ax的图象与h（x）=bxm的图象恒有两个交点考向3 对数函数的奇偶性【例7】【2018安徽合肥调研】若函数为奇函数，当时，则（）A B C0 D1【答案】C【解析】，选C【例8】【2017贵州贵阳模拟】已知函数，则是（）A奇函数 B偶函数 C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数【答案】D【例9】【2