高考专题 圆锥曲线的最值、范围问题-高中数学（理）黄金100题---精校解析Word版

第79题 圆锥曲线的最值、范围问题I题源探究·黄金母题【例1】已知抛物线方程为，直线过定点，斜率为当取何值时，直线与抛物线：只有一个公共点；有两个公共点；公共点【方法指导】直线与抛物线公共点的个数，就是直线方程与抛物线方程联立方程组解的个数，由判别式可讨论之【解析】由题意，直线的方程为由方程组（I）可得（II）（1）当时，由方程（II），得把代入，得这时，直线与抛物线只有一个公共点（2）当时，方程（II）的判别式为下面分三种情况讨论：由，即，解得或于是，当或时，方程（II）只有一个解，从而方程组（I）只有一个解这时，直线与抛物线只有一个公共点由，即，解得于是，当且时，方程（II）有两个解，从而方程组（I）有两个解这时，直线与抛物线只有两个公共点由，即，解得或于是，当或时，方程（II）没有实数解，从而方程组（I）没有实数解这时，直线与抛物线没有公共点综上可得：当或或时，直线与抛物线只有一个公共点；当且时，直线与抛物线有两个公共点；当或时，直线与抛物线没有公共点精彩解读【试题来源】人教版A版选修2-1P62例5【母题评析】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查考生的分析问题解决问题的能力【思路方法】1直线与抛物线的位置关系的判定联立直线和抛物线方程得当时，直线与抛物线相交，有两个不同的交点；直线与抛物线相切，只有一个公共点；直线与抛物线相离，没有公共点当时，直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线此时，直线和抛物线相交，只有一个公共点，但不能称为相切2解决直线与抛物线的位置关系的一般步骤：第一步：联立方程，得关于或的一元二次方程；第二步：写出根与系数的关系，并求出时参数范围(或指出直线过曲线内一点)；第三步：根据题目要求列出关于(或)的关系式，求得结果；第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况II考场精彩·真题回放【例1】【2017课标1理10】已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，直线与交于两点，直线与交于两点，则的最小值为 （ ）A16B14C12D10【答案】A【解析】解法一：设，直线方程为联立方程得，同理直线与抛物线的交点满足由抛物线定义可知，当且仅当（或）时，取最小值16解法二：如图，设直线的倾斜角为，则，则，所以，当且仅当，即或时，取最小值16【例2】【2017高考山东理21】在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，焦距为（I）求椭圆的方程；（II）如图，动直线：交椭圆于两点，是椭圆上一点，直线的斜率为，且，是线段延长线上一点，且，的半径为，是的两条切线，切点分别为求的最大值，并求取得最大值时直线的斜率【解】（I）由题意知 ， ，因此 椭圆的方程为（）设，联立方程得，由题意知，且， 由题意知，由此直线的方程为联立方程得，因此由题意可知 ，而，令，则，因此，当且仅当，即时等号成立，此时， ，因此， 最大值为综上所述：的最大值为，取得最大值时直线的斜率为【命题意图】这类题主要考查圆锥曲线的几何性质这类题能较好的考查考生逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等【考试方向】这类试题在考查题型上，可以是选择题、填空题，难度中等；也可以是解答题，作为压轴题，难度大【难点中心】1解决椭圆和双曲线的离心率的最值及范围问题其关键就是确立一个关于的等式或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的等式或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等2对于抛物线焦点弦有关问题，要抓住抛物线定义，根据解决需要实现到焦点的距离与到准线的距离相互转化另外，直线与抛物线联立，应用判别式、韦达定理解题是通法，需要重点掌握涉及最值问题时要能想到用函数或基本不等式解决问题（如解法二所示）3圆锥曲线中的两类最值问题：涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题常见解法：几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；代数法，若题目中给出的条件和结论的几何特征不明显，但能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用配方法、判别式法、单调性法、基本不等式、三角换元法、导数法求解【例3】【2017高考浙江21】如图，已知抛物线，点A，抛物线上的点过点B作直线AP的垂线，垂足为Q（）求直线AP斜率的取值范围；（）求的最大值【答案】（）；（）【解析】试题分析：（）由两点求斜率公式可得AP的斜率为，由，得AP斜率的取值范围；（）联立直线AP与BQ的方程，得Q的横坐标，进而表达与的长度，通过函数求解的最大值试题解析：（）设直线AP的斜率为k，则，直线AP斜率的取值范围是（）联立直线AP与BQ的方程解得点Q的横坐标是，令，因为，所以 f(k)在区间上单调递增，上单调递减，因此当时，取得最大值【名师点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，通过表达与的长度，通过函数求解的最大值III理论基础·解题原理考点一 圆锥曲线中的最值问题圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题考点二 圆锥曲线取值范围问题圆锥曲线中的范围问题是高考中的热点问题，常涉及不等式的恒成立问题、函数的值域问题，综合性比较强解决此类问题常用几何法和判别式法IV题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，若以选择题或填空题的形式出现，难度中等；若是解答题，作为压轴题，难度大【技能方法】1圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题，常涉及不等式、函数的值域问题，综合性比较强，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个（些）参数的函数解析式，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解2在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数值域的求法，确定参数的取值范围【易错指导】圆锥曲线的最值和范围问题的解法和一般的最值和范围问题的解决方法是一致的最值和范围问题解法一般有最值6法要注意灵活选择，提高解题效率V举一反三·触类旁通考向1 圆锥曲线中的最值问题【例1】【2018湖南永州高三二模】已知点是椭圆的两个焦点，点是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是（ ）A0 B4 C D【答案】B【例2】【2018天津高三一模】已知抛物线的焦点为，设，是抛物线上的两个动点，如满足，则的最大值是( )A B C D【答案】B【解析】依题意画出示意图如图所示：，在中，由余弦定理得，的最大值为，故选B【方法点睛】（1）与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简，“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径；（2）圆锥曲线中的最值问题，可利用基本不等式求解，但要注意不等式成立的条件【例3】【2018江西高三六校联考】已知椭圆C：的离心率与双曲线的离心率互为倒数，且过点（I）求椭圆C的方程；（II）过作两条直线与圆相切且分别交椭圆于M、N两点 求证：直线MN的斜率为定值； 求MON面积的最大值（其中O为坐标原点）【答案】（I）；（II） 试题解析：（I）可得，设椭圆的半焦距为，所以，因为C过点，所以，又，解得，所以椭圆方程为（II） 显然两直线的斜率存在，设为，由于直线与圆相切，则有，直线的方程为，联立方程组消去，得，因为为直线与椭圆的交点，所以，同理，当与椭圆相交时，所以，而，所以直线的斜率 设直线的方程为，联立方程组消去得，所以，原点到直线的距离，面积为，当且仅当时取得等号经检验，存在（），使得过点的两条直线与圆相切，且与椭圆有两个交点M，N所以面积的最大值为【方法点睛】解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决【跟踪练习】1【2018黑龙江哈尔滨三中高三模拟】已知抛物线，过的直线与抛物线交于两点，则 (其中为坐标原点）面积的最小值是（ ）A B1 C2 D4【答案】D设，点到直线的距离，综上所述（其中为坐标原点）面积的最小值是1，故选D2【2018北京市西城区高三模拟】设为坐标原点，是以为焦点的抛物线 上任意一点，是线段的中点，则直线的斜率的最大值为（ ）A B1 C D2【答案】B【解析】设，是线段的中点，所以直线的斜率为：显然时的斜率较大，此时，当且仅当，时，斜率最大为1，故选B3【2018海南高三阶段性测试（二模）】已知双曲线的左、右焦点分别为，过且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于，两点，分别交轴于，两点，若的周长为，则的最大值为_【答案】则，令m=，则，当m=时，的最大值为，故答案为4【2018天一大联考高中毕业班阶段性测试（四）】已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为，且与抛物线的焦点重合（I）求椭圆的标准方程；（II）若过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且，求的最小值【答案】（I）椭圆的标准方程为；（II）的最小值为解析：（I）抛物线的焦点为，所以，又因为，所以，所以，所以椭圆的标准方程为（II）（i）当直线的斜率存在且时，直线的方程为，代入椭圆方程，并化简得设，则， 易知的斜率为，所以 当，即时，上式取等号，故的最小值为（ii）当直线的斜率不存在或等于零时，易得综上，的最小值为【方法点睛】本题要熟悉椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系问题，在求解椭圆中的最值问题时务必先求出表达式结合不等式即可得出结论，同时直线与椭圆的弦长公式也要非常熟悉5【2018广东深圳高三第一次调研考试】已知椭圆的离心率为，直线与椭圆有且只有一个交点(1)求椭圆的方程和点的坐标；(2) 为坐标原点，与平行的直线与椭圆交于不同的两点，求的面积最大时直线的方程【答案】（I）椭圆的方程为，点的坐标为；（II）或