高考专题函数的单调性-高中数学（理）黄金100题--- 精校解析Word版

第9题 函数的单调性I题源探究·黄金母题【例1】已知函数，求函数的最大值和最小值【答案】【解析】设是上的任意两个实数，且，则由，得，所以，即，故在区间上是增函数因此，函数在区间的左端点处取得最小值，右端点处取得最大值，即最小值是，最大值是精彩解读【试题来源】人教版A版必修一第31页例4【母题评析】本题通过对函数的单调性的判断或证明，进而利用函数的单调性求出函数在某一闭区间上的最大值和最小值本类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式【思路方法】利用函数的单调性的定义或借助函数的图象判断函数的单调性，借助函数的单调性研究函数的极值与最值或比较大小或解不等式等II考场精彩·真题回放【例2】【2017高考天津卷】已知奇函数在R上是增函数，若，则a，b， c的大小关系为A B C D【答案】 【解析】因为是奇函数且在上是增函数，所以在时，从而是上的偶函数，且在上是增函数，又，则，所以即，所以，故选C【例3】【2017高考山东卷】若函数（是自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数具有性质下列函数中所有具有性质的函数的序号为 ；【答案】【解析】试题分析：在上单调递增，故具有性质；在上单调递减，故不具有性质；，令，则，当时，当时，在上单调递减，在上单调递增，故不具有性质；，令，则，在上单调递增，故具有性质【例4】【2017高考课标2卷】函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是 （ ）A(-,-2) B(-,1) C(1,+) D(4,+)【答案】D【解析】要使函数有意义，则x2-2x-8>0，解得：x<-2或x>4，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调增区间为4,+故选D【例5】【2016高考新课标I卷】若，则（ ）A BC D【答案】C【解析】 对于选项A：由于，所以函数在上单调递增由，得故A错误又，即故B错误对于选项B：要比较与的大小，只需比较与的大小构造函数，因为，所以，因此函数在上单调递增又，对于选项C:要比较与的大小关系，只需比较与的大小，即比较与的大小构造辅助函数，令得函数在上单调递增，因此，若，得，故又，所以，即，得故选项C正确对于选项D：比较与的大小，只需比较与的大小，即比较与的大小又，得，所以又，得，即故选项D不正确综上可得选C【命题意图】本类题通常主要考查一些常见函数的图象与性质，主要利用函数的单调性比较大小【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往 与不等式的性质同时考查【难点中心】（1）对于比较大小问题，简单问题可直接借助一个的常见函数的单调性，利用自变量的大小关系，推出函数值的大小关系，复杂一点的，有时需要把式子适当变形，然后再构造一个适当的函数，同样借助这个函数的单调性，利用自变量的大小关系，推出函数值的大小关系是基础题（2）新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可（3）求函数单调区间的常用方法：定义法和导数法，通过解相应不等式得单调区间；图象法，由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“”连接；利用复合函数“同增异减”的原则，此时需先确定函数的单调性III理论基础·解题原理一、函数的单调性的基本概念1函数的单调性一般地，设函数的定义域为，区间，如果对于任意，当时，若，则函数在区间上是增函数；若，则函数在区间上是减函数；2函数的单调区间若函数单调在区间上是增函数（或减函数），则称函数在这一区间上具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间二、辨明两个易误点(1)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“”联结，也不能用“或”联结(2)注意函数的定义域为不连续的两个单调性相同的区间，要分别说明单调区间，不可说成“在其定义域上”单调，如函数在(，0)、(0，)上递减，而不能说在定义域上递减三、判断函数单调性的四种方法(1)定义法： 取值、作差、变形、定号、下结论；(2)复合法：“同增异减”，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数；(3)图象法： 如果f(x)是以图象形式给出的，或者的图象易作出，可由图象的直观性判断函数单调性(4)导数法： 利用导函数的正负判断函数单调性四、认识反应函数单调性的陌生函数符号定义在R上的函数对任意都有，说明函数为减函数；同样若，说明函数为增函数；类似呢？IV题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往与函数的奇偶性、周期有联系，主要考查求值、比较大小、解不等式等【技能方法】解决此类问题一般要把先求函数的定义域，在定义域内研究函数的单调性研究函数的单调性时，可灵活采用定义法、复合法、图象法、导数法，了解函数再定义域内的区间上的单调性，在此基础上再借助函数的奇偶性、周期性、特殊值等，模拟画出函数的图象，最后利用数形结合思想，达到求最值、比较大小、解不等式的目的【易错指导】(1)求函数的单调区间，必须先求出函数的定义域，函数的单调区间是函数定义域的子集(2)利用函数单调性解不等式时，要注意函数的定义域，特别是函数为偶函数时，注意使用“绝对值”V举一反三·触类旁通考向1 判断函数的单调性（求函数的单调区间）【例1】【2018安徽滁州9月联合质量检测】下列函数在上是增函数的是（ ）A B C D【答案】D【例2】【2017高考北京卷】已知函数，则 （ ）A是奇函数，且在R上是增函数 B是偶函数，且在R上是增函数C是奇函数，且在R上是减函数 D是偶函数，且在R上是减函数【答案】A【解析】，所以该函数是奇函数，并且是增函数， 是减函数，根据增函数减函数=增函数，可知该函数是增函数，故选A【名师点睛】本题属于基础题型，根据与的关系就可以判断出函数的奇偶性，判断函数单调性的方法：（1）利用平时学习过的基本初等函数的单调性；（2）利用函数图象判断函数的单调性；（3）利用函数的四则运算判断函数的单调性，如：增函数+增函数=增函数，增函数减函数=增函数；（4）利用导数判断函数的单调性【例3】【2018辽宁鞍山一中一模】已知函数，则的增区间为（ ）A B C D【答案】B【解析】函数有意义，则： ，求解不等式可得函数的定义域为： ，二次函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，结合复合函数的单调性可得的增区间为本题选择B选项点睛：求函数的单调区间：首先应注意函数的单调区间是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间求函数单调区间的常用方法：根据定义、利用图象、单调函数的性质及利用导数的性质【跟踪练习】1下列函数中，定义域是R且为增函数的是()AyByx3Cyln x Dy|x|【答案】B2【2017江西六校联考】下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ）A B C D【答案】B【解析】对于A:函数在递减，不合题意；对于B : 是偶函数且在递增，符合题意；对于C： 是周期函数，在不单调，不合题意；对于D：此函数不是偶函数，不合题意；故选B3【2018河北邢台模拟】函数的单调递增区间是()A B C D【答案】A考向2 函数的单调性与比较大小【例4】已知，且，则（ ）A B C D【答案】C 【解析】 选项A错误：因为；选项B错误：三角函数在上不是单调的，所以不一定有举反例如，当时，；选项C正确：由指数函数是减函数，可得；选项D错误：举一个反例如，满足，但故选C【点评】利用函数的单调性比较大小是函数的最基本问题，选择一个适当的函数，利用函数在一个单调区间上的单调性，根据自变量的大小关系，判断函数值的大小关系，显然，掌握所学的基本函数的单调性就显得非常必要了【例5】【2018河南天一大联考】已知m>n>0，则下列说法错误的是（ ）Alog12m<log12n Bmn+1>nm+1 Cm>n Dmm2+1>nn2+1【答案】D【跟踪练习】1【2018河北省衡水模拟】已知函数为内的奇函数，且当时， ，记， ， ，则， ， 间的大小关系是（ ）A B C D【答案】D【解析】函数是奇函数，则，即当时， ，构造函数，满足，则函数是偶函数，则，当时， ，据此可得： ，即偶函数在区间上单调递减，且： ，结合函数的单调性可得： ，即： 故选D2【2018河北武邑中学第二次调研】已知， ， ， ，则的大小关系是（ ）A B C D【答案】A【解析】，且，又，故选A3【201天津滨海八校联考】已知是定义在上的奇函数，对任意两个不相等的正数，都有，记， ， ，则（ ）A B C D【答案】A点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行考向3 函数的单调性与解不等式【例6】【2017高考新课标I卷】函数在单调递减，且为奇函数若，则满足的的取值范围是ABCD【答案】D【解析】试题分析：因为为奇函数且在单调递减，要使成立，则满足，从而由得，即满足成立的的取值范围为，选D【考点】函数的奇偶性、单调性【名师点睛】奇偶性与单调性的综合问题，要重视利用奇、偶函数与单调性解决不等式和比较大小问题，若在R上为单调递增的奇函数，且，则，反之亦成立【例7】【2017江苏，11】已知函数，其中e是自然对数的底数若，则实数的取值范围是 【答案】 【考点】利用函数性质解不等式【名师点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内【例8】【2018河南林州一中10月调研】设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（）A B C D【答案】D【解析】函数为奇函数，则，化为，等价于，当时，解得，当时，不等式的解集为，故选D【跟踪练习】1【2018河北邢台模拟】函数在上