[经济学]第二讲 随机向量

第二讲 随机向量 Random Vector,一、数据结构,二、一元分布,（一）一元随机变量与概率分布函数 （二）概率分布函数的类型 （三）随机变量的数字特征 （四）一些重要的一元分布,三、随机向量的联合分布、边缘分布、条件分布,（一）联合分布（多元分布）,1、联合分布函数,随机向量 的联合分布函数定义为,2、分布函数的性质, 非 降的右连续函数；, 分布函数的取值范围为0，1，即, 分布函数当变量取值为无穷大时，函数值收敛到1，即,（二）两个常用的离散多元分布,1、多项分布,则称 服从多项分布。,2、多元超几何分布,则 服从多元超几何。,（三）多元概率密度,1、定义,随机向量 的分布函数可以表示为,则称 为连续型随机向量。称 为 的多元概率密度函数。,若 在点 连续，则,（四）边际分布,例 有概率密度函数,试分别求 的边际密度。,（五）条件分布,1、问题的引入,若A和B是任意两个事件，且 ，则称 为在B事件发生的条件下，事件A发生的条件概率。,考虑随机向量 ，其中 表示人的身高（单 位：米）， 表示人的体重（单位：公斤），在 身高为1.9米的人群中，体重 的分布就再也不是 原来的分布了。而是在 的条件分布。,2、条件分布 连续随机向量,不妨设 是 的q个分量组成。 是余下的p-q个分量组成。,是 条件下， 的分 条件密度函数。,3、条件分布,例 设X=(x1,x2)有概率密度函数,试求条件密度函数f(x1/x2）和f(x2/x1）。,所以先求,（六）独立性,1、定义 设 和 是两个随机向量，若 对一切 、成立，则称 和 相互独立。,2、设 和 是两个连续随机向量， 和 相互 独立，当且仅当 或 对一切 、 成立。,3、设 是 个随机向量，若 对一切 成立，则 相互独立。,例 设X=(x1,x2,x3)有概率密度函数,试证 x1,x2,x3相互独立。,四、随机向量的数字特征,（一）随机向量的均值向量,（二）随机矩阵的数学期望,是有随机变量构成的随机矩阵，定义X的数学期望为,特别当时 ，便可得到随机向量 的数学期望,（三）随机向量X的协方差阵,注：1、对称非负定： 2、协方差阵的分解： 3、total variance ： 4、generalized variance ：,（四）随机向量X和Y的（互）协方差阵,注：1、非对称： 2、协方差阵的分解：,（五）随机向量X的相关阵,五、均值向量和协方差阵的性质,六、随机向量的变换,（一）一元随机变量的变换,设x具有概率密度函数fx(x)，函数y=(x)严格单调，其反函数x=(y)有连续导数，则y的概率密度函数为,其中y的取值范围与x的取值范围相对应。,例 设随机变量x服从均匀分布U(0,1),即密度函数,y的取值范围为(0,),则,（二）多元随机向量的变换,若(x1,x2,xp) 有密度函数f (x1,x2,xp),有函数组,其逆变换存在,则 的概率密度函数为,特别：若 ，其中 为 阶可逆常数矩阵， 为 维常数向量，则,