2.3数学归纳法(第一课时)

选修 2-2 第二章 推理与证明,2.3 数学归纳法,从前，有个小孩叫万百千，他开始上学识字。第一天先生教他个“一”字。第二天先生又教了个“二”字。第三天，他想先生一定是教“三”字了，并预先在纸上划了三横。果然这天教了个“三”字。于是他得了一个结论：“四”一定是四横，“五”一定是五横，以此类推， 从此，他不再去上学，家长发现问他为何不去上学，他自豪地说：“我都会了”。家长要他写出自己的名字，“万百千”写名字结果可想而知。,“万百千“的笑话,故事情境,问题情境一,问题1:你知道谚语“天下乌鸦一般黑”的由来吗？,师生互动 探求新知,问题2:盒子中有5个小球，如何证明它们都是红色的？,问题3:数列的通项公式是：an= (n25n+5)2 请算出a1= ，a2= ，a3= ，a4= ,猜测,1,1,1,1,猜测是否正确呢？,问题情境二,由于a525 1，所以猜测是不正确的,问题4:在数列,中,1,(n ),（1）求,，,，,的值；,（2）试猜想该数列的通项公式,像这种由一系列特殊事例得出一般结论的推理方法，叫做归纳法。,（结论一定可靠，但需逐一核对，实施较难）,（结论不一定可靠，但有利于发现问题，形成猜想）,（1）完全归纳法：考察全体对象，得到一般结论的推理方法,（2）不完全归纳法，考察部分对象，得到一般结论的推理方法,归纳法分为 完全归纳法 和 不完全归纳法,问题 1:大球中有5个小球，如何证明它们都是绿色的？,完全归纳法,不完全归纳法,问题2:在数列,中,试猜想该数列的通项公式。,1,(n ),数学家费马运用归纳法得出费马猜想的事例：,思考：归纳法有什么优点和缺点？,优点：可以帮助我们从一些具体事 例中发现一般规律,缺点：仅根据有限的特殊事例归纳 得到的结论有时是不正确的,在使用归纳法探究数学命题时，必须对任何可能的情况进行论证后，才能判别命题正确与否。,思考1：与正整数n有关的数学命题能否通过一一验证的办法来加以证明呢？,思考2：如果一个数学命题与正整数n有关,我们能否找到一种既简单又有效的证明方法呢？,多 米 诺 骨 牌 游戏,问题情境三,这个游戏中，能使所有多米若骨牌全部倒下的条件是什么？,需满足以下两个条件：,（1）第一块骨牌倒下； （2）任意相临两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.,思考：你认为条件（2）的作用是什么？,思考：能否类比这种方法来解决不完全归纳法存在的问题呢？,你能证明这个猜想是正确的吗？,引例 在数列,中,1,(n ),（1）求,，,，,的值；,（2）试猜想该数列的通项公式,探究发现 形成概念,证明一个与正整数有关的命题步骤如下：,(2) 假设当nk (kN*, kn0 ) 时命题成立, 证明 当nk1时命题也成立,完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从n0开始的所有正整数 n都正确,(1) 证明当n取第一个值n = n0 时命题成立,这种证明方法叫做数学归纳法,归纳奠基,归纳递推,框图表示了数学归纳法的基本过程：,（1）验证：n=n0 （n0N+） 时命题成立。,（2）证明：假设n=k（kn0） 时命题成立， 证明n=k+1时命题也成立。,结论：命题对所有的n （n0N+， nn0）成立,归纳奠基,归纳递推,情境1.观察下列各等式，你发现了什么？,思考：你由不完全归纳法所发现的结论正确吗？若不正确，请举一个反例;若正确，如何证明呢？,师生互动 讲练结合,类比多米诺骨牌游戏证明猜想 的步骤为：,(1)证明当n=1时猜想成立,(2)证明若当n=k时命题成立，则n=k+1时命题也成立.,完成了这两个步骤以后就可以证明上述猜想对于所有的正整数n都是成立的。,相当于第一张牌能倒下,相当于使所有骨牌倒下的第2个条件,证明 当n=1时，左边1 右边,等式显然成立。,例1 证明：,递推基础,递推依据,假设当n=k时等式成立，即,那么,当n=k+1时，有,即当n=k+1时,等式也成立。,综上可知，对任何nN*等式都成立。,凑结论,变式训练1：2+4+6+8+2n=n2+n+1(nN*),证明 ：假设当n=k时等式成立，即 2+4+6+8+2k=k2+k+1(kN*),那么，当n=k+1时，有 2+4+6+8+2k+2（k+1) =k2+k+1+2(k+1) =(k+1)2+(k+1)+1 , 因此，对于任何nN*等式都成立。,缺乏“递推基础”,事实上，我们可以用等差数列求和公式验证原等式是不成立的！,证明 当n=1时,左边= ,假设n=k(kN*)时原等式成立 ，即,右边=,此时，原等式成立。,那么n=k+1时,综上 知,对一切正整数n,原等式均正确.,变式训练2：,缺乏“递推依据”,证明 当n=1时,左边= ,这才是数学归纳法,假设n=k(kN*)时原等式成立 ，即,右边=,此时，原等式成立。,那么n=k+1时,这就是说，当n=k+1时,命题也成立.,综上 知,对一切正整数n,原等式均正确.,用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是：,（1）证明当 取第一个值 （如 或2等）时结论正确；,（2）假设时 结论正确，证明 时结论也正确,递推基础,递推依据,“找准起点，奠基要稳”,“用上假设，递推才真”,“综合（1）（2），”不可少！,注意:数学归纳法使用要点： 两步骤,一结论。,(2)数学归纳法证题的步骤：两个步骤，一个结论；,(3)数学归纳法优点：即克服了完全归纳法的繁杂的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足。,(4)数学归纳法的基本思想：运用“有限”的手段来解决“无限”的问题,(1)数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法,合作交流 总结提高,课后作业,阳光课堂 与课本： 第95页练习 1 第96页习题2.3 B组 1,举例说明：用数学归纳法证明 n边形的对角线的条数是,此时n取的第一值,分析下列各题用数学归纳法证明过程中的错误：,深入探究 发现问题,（1）2+4+6+8+2n=n2+n+1(nN*),证明 ：假设当n=k时等式成立，即 2+4+6+8+2k=k2+k+1(kN*),那么，当n=k+1时，有 2+4+6+8+2k+2（k+1) =k2+k+1+2(k+1) =(k+1)2+(k+1)+1 , 因此，对于任何nN*等式都成立。,缺乏“递推基础”,事实上，我们可以用等差数列求和公式验证原等式是不成立的！,这就是说，当n=k+1时,命题也成立.,没有用上“假设”，故此法不是数学归纳法,请修改为数学归纳法,证明 当n=1时,左边= ,假设n=k(kN*)时原等式成立 ，即,此时，原等式成立。,那么n=k+1时,由 知,对一切正整数n,原等式均正确.,用数学归纳法证明 1×22×33×4n(n1) ,练习巩固,=,即当 n=k+1时命题正确。 综上(1)(2)可知，当 ，命题正确。,（3）（纠错题）课本P87 T3 2nn2(nN*),证明 ：当n=1时，2112,不等式显然成立。 假设当n=k时等式成立，即2kk2, 那么当n=k+1时，有 2k+1=22k=2k+2kk2+k2k2+2k+1=(k+1)2. 这就是说，当n=k+1时不等式也成立。 根据（1）和（2），可知对任何nN*不等式都成立。,虽然既有“递推基础”，又用到假设（“递推依据”），但在证明过程中出现错误，故上述证法错误！,事实上，原不等式不成立，如n=2时不等式就不成立。,练习巩固,C,C,3. 用数学归纳法证明: 1×22×33×4n(n1) ,练习巩固,4、用数学归纳法证明：,5求证:当nN*时，,练习 用数学归纳法证明,证明（1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立,这就是说，当n=k+1时，等式也成立,由（1）和（2），可知等式对任何正整数n都成立,（2）假设当n=k时，等式成立，即,递推基础,递推依据,那么当n=k+1时，,3.用数学归纳法证明 1×22×33×4n(n1) ,练习巩固,练习巩固,4、用数学归纳法证明, n=k+1时命题正确。 由(1)和(2)知，当 ，命题正确。,提什么 好呢?,注意结论的形式,练习巩固,5求证:当nN*时，,证明:, n=k+1时命题正确。 由(1)和(2)知，当 ，命题正确。,(2)数学归纳法证题的步骤：两个步骤，一个结论；,(3)数学归纳法优点：即克服了完全归纳法的繁杂的缺 点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足。,(4)数学归纳法的基本思想：运用“有限”的手段来 解决“无限”的问题,(1)数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题 的重要方法,回顾反思,