高二数学常用逻辑用语

常用逻辑用语复习,审校：王伟,知识网络,命题的形式：“若P, 则q”,也可写成 “如果P,那么q” 的形式,也可写成 “只要P,就有q” 的形式,通常,我们把这种形式的命题中的P叫做命题的条件,q叫做结论.,记做:,用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句称为命题,1.1.1命题,其中判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题,一个符号,条件的否定，记作“”。读作“非”。,若p 则q,逆否命题：,原命题：,逆命题：,否命题：,若q 则p,若 p 则 q,若 q 则 p,二、 四 种 命 题,结论1：要写出一个命题的另外三个命题关键是分清命题的题设和结论（即把原命题写成“若P则Q”的形式）,注意：三种命题中最难写 的是否命题。,结论2：（1）“或”的否定为“且”， （2）“且”的否定为“或”， （3）“都”的否定为“不都”。,三、四种命题之间的 关系,原命题 若p则q,逆命题 若q则p,否命题 若p则q,逆否命题 若q则p,互逆,互否,互否,互逆,互为 逆否,（2） 若其逆命题为真，则其否命题一定为真。但其原命题、逆否命题不一定为真。,(1)原命题与逆否命题同真假。,(2)原命题的逆命题与否命题同真假。,（1） 原命题为真，则其逆否命题一定为真。但其逆命题、否命题不一定为真。,四、命题真假性判断,结论：,反证法的一般步骤：,假设命题的结论不成立,即假 设结论的反面成立；,从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；,(3) 由矛盾判定假设不正确， 从而肯定命题的结论正确。,反证法,充要条件,如果命题“若p则q”为假，则记作p q。,如果命题“若p则q”为真，则记作p q（或q p）。,定义:如果 ,则说p是q的充分条件,q是p的必要条件,p q，相当于P q ， 即 P q 或 P、q, 认清条件和结论。, 可先简化命题。, 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。, 否定一个命题只要举出一个反例即可。,判别充要条件问题的,充要条件定义:,称:p是q的充分必要条件,简称充要条件,显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件,p与q互为充要条件,(也可以说成”p与q等价”),1、充分且必要条件 2、充分非必要条件 3、必要非充分条件 4、既不充分也不必要条件,各种条件的可能情况,2、从逻辑推理关系看充分条件、必要条件:,充分非必要条件,必要非充分条件,既不充分也不必要条件,充分且必要条件,3、从集合与集合的关系看充分条件、必要条件,充分非必要条件,必要非充分条件,既不充分也不必要条件,一般情况下若条件甲为，条件乙为,4）若A=B ，则甲是乙的充分且必要条件。,1.在判断条件时，要特别注意的是它们能否互相推出，切不可不加判断以单向推出代替双向推出.,注意点,2.搞清 A是B的充分条件与A是B的充分非必要条件之间的区别与联系； A是B的必要条件与A是B的必要非充分条件之间的区别与联系,、注意几种方法的灵活使用： 定义法、集合法、逆否命题法,2：填写“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分又不必要。 1）sinAsinB是AB的_条件。 2）在ABC中，sinAsinB是 AB的 _条件。,既不充分又不必要,充要条件,注、定义法（图形分析）,3、ab成立的充分不必要的条件是（ ） A. acbc B. a/cb/c C. a+cb+c D. ac2bc2,D,4.关于x的不等式：x+x-1m的 解集为R的充要条件是( ) (A)m0 (B)m0 (C)m1 (D)m1,C,练习2、,1、设集合M=x|x2,N=x|x3,那么”xM或xN”是“xMN”的 A.充要条件 B必要不充分条件 C充分不必要 D不充分不必要,B,注、集合法,2、aR,|a|3成立的一个必要不充分条件是 A.a3 B.|a|2 C.a29 D.0a2,A,1.已知p是q的必要而不充分条件， 那么p是q的_.,练习3、,充分不必要条件,注、等价法（转化为逆否命题）,2：若A是B的充要条件,C是B的充 要条件,则A为C的（ ）条件 A.充要 B必要不充分 C充分不必要 D不充分不必要,集合法与转化法,1.已知P：2x-31；q：1/(x2+x-6)0， 则p是q的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件,2、已知p：|x+1|2，q：x25x6, 则非p是非q的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件,练习4、,A,A,我们再来看几个复杂的命题:,(1)10可以被2或5整除.,(2)菱形的对角线互相垂直且平分.,(3)0.5非整数.,“或”,“且”, “非”称为逻辑联结词.含有逻辑联结词的命题称为复合命题,不含逻辑联结词的命题称为简单命题.,复合命题有以下三种形式:,(1)P且q. (2)P或q. (3)非p.,1.3.1 逻辑联结词 或、且、非,一般地,用逻辑联结词”且”把命题p和命题q联结起来.就得到一个新命题,记作,读作”p且q”.,规定:当p,q都是真命题时, 是真命题;当p,q两个命题中有一个命题是假命题时, 是假命题.,全真为真,有假即假.,p,q,一般地,用逻辑联结词”或”把命题p和命题q联结起来.就得到一个新命题,记作,规定:当p,q两个命题中有一个是真命题 时, 是真命题;当p,q两个命题中都是 假命题时, 是假命题.,p,q,当p,q两个命题中有一个是真命题时, 是真命题;当p,q两个命题都是假命题时, 是假命题.,开关p,q的闭合对应命题的真假,则整个电路的接通与断开分别对应命题 的真与假.,一般地,对一个命题p全盘否定,就得到一个新命题,记作,若p是真命题,则 必是假命题;若p是假命题,则 必是真命题.,读作”非p”或”p的否定”,“非”命题对常见的几个正面词语的否定.,1.4 全称量词与 存在量词,短语”对所有的”对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号 “ ”表示.含有全称量词的命题,叫做全称命题,常见的全称量词还有: “对所有的”,”对任意一个”,”对一切”,”对每一个”,”任给”,”所有的”等.,短语”对所有的”对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号 “ ”表示.含有全称量词的命题,叫做全称命题.,符号 全称命题”对M中任意一个x有p(x)成立”可用符号简记为 读作”对任意x属于M,有p(x)成立”.,1.4.2 存在量词,短语”存在一个”至少有一个”在逻辑上通常叫做存在量词,并用符号” ”表示.含有存在量词的命题,叫做特称命题.,常见的存在量词还有”有些”有一个”有的”对某个”等.,特称命题”存在M中的一个x,使p(x)成 立”可用符号简记为 读做”存在一个x,使p(x)成立”.,1.4.3 含有一个量词 的命题的否定,从命题形式上看,这三个全称命题的否定都变成了特称命题. 一般地,对于含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论: 全称命题p: 全称命题的否定是特称命题.,从命题形式上看,这三个特称命题的否定都变成了全称命题. 一般地,对于含有一个量词的特称命题的否定,有下面的结论:,特称命题,它的否定,从命题形式上看,这三个特称命题的否定都变成了全称命题. 一般地,对于含有一个量词的特称命题的否定,有下面的结论:,特称命题,特称命题的否定是全称命题.,例题选讲,例题选讲,1、分别写出由下列各种命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题：,（）p：平行四边形对角线相等 q：平行四边形对角线互相平分,（）p：10是自然数 q：10是偶数,例2分别指出下列复合命题的构成形式及构成它的简单命题：,（）x=2或x=3是方程x25x+6=0的根,（）既大于3又是无理数,（）直角不等于90,（）x+1x3,（）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧,例3分别写出由下列各种命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题,并判断它们的真假：,、p：末位数字是0的自然数能被5整除 q：5x|x2+3x10=0,、p：四边都相等的四边形是正方形 q：四个角都相等的四边形是正方形,、p：0 q：x|x23x50 R,、p:不等式x2+2x8 2,例4把下列改写成“若p则q”的形式，并判断它们的真假：,（）实数的平方是非负数。 （）等底等高的两个三角形是全等三角形。 （）被6整除的数既被3整除又被2整除。 （）弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧。,例5写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断真假：,（）面积相等的两个三角形是全等三角形。 （）若x=0则xy=0。 （）当cbc则ab。 （）若mn0，则方程mx2x+n=0有两个不相等的实数根。,例6写出下列各命题的否定及其否命题，并判断它们的真假：,（）若x,y都是奇数，则x+y是偶数。 （）若xy=0，则x=0或y=0,例7指出下列各组命题中p是q的什么条件（充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件）：,（）p：a2b2 q：ab 则p是q的（ ） （）p：x|x2或x3 q：x|x2x60 则p是q的（ ） （）p：a与b都是奇数 q：a+b是偶数 则p是q的（ ） （）p：0m/ q：方程mx22x+3=0有两个同号且不相等的实数根，则p是q的（ ）,例8判断下列命题的真假：,（）(x2)(x+3)=0是(x2)2+(y+3)2=0的充要条件。 （）x2=4x+5是 x x2的必要条件。 (3)内错角相等是两直线平行的充分条件。 (4)ab0是 |a+b|ab| 的必要而不充分条件。,例9判断下列命题是全称命题，还是存在性命题,（1）线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 （2）负数的平方是正数 （3）有些三角形不是等腰三角形 （4）有些菱形是正方形,例10用量词符号“”，“”表达下列问题,、凸n边形的外角和等于； 、不等式的解集为A，则AR； 、有的向量方向不定； 、至少有一个实数不能取对数；,例11写出下列命题的否定,（1）对任意的正数x， x-1； （2）不存在实数x，x2+12x； （3）已知集合AB，如果对于任意的元素xA，那么xB； （4）已知集合AB，存在至少一个元素xB，使得xA；,例1已知关于x的方程 (1a)x2+(a+2)x4=0 aR,求：1) 方程有两个正根的充要条件；,2) 方程至少有一个正根的充要条件。,