应用统计第一章数理统计基本概念

1,Ch 1 数理统计基本概念,数理统计是如何有效地收集、整理、分析带随机影响的数据，从而对所观察的现象做出推断或预测，为决策提供依据的一门学科。 在近一个世纪的发展中，数理统计不同程度地渗透到人类活动的许多领域。人口调查、税收预算、测量误差、出生与死亡统计、保险业中赔款额和保险金的确定等，这些数理统计早期主要研究的问题，直到现在仍然值得认真研究。在近半个世纪以来，数理统计在理论、方法、应用上都有较大的发展。抽样调查、试验设计、回归分析与回归诊断、多元分析、时间序列分析、非参数统计、统计决策函数、统计计算、随机模拟、探索性数据分析等统计方法相继产生并在实践中普遍使用，把以描述为主的统计发展到以推断为主的统计。数理统计的内容已异常丰富，应用面广量大，成为当前最活跃的学科之一。,2,§1.1 总体与样本,一、 总体与个体,总体指研究对象的某项数量指标值的全体。组成总体的每个元素称为个体。由于每个个体的出现带有随机性，即相应的数量指标值的出现带有随机性。从而可把此种数量指标看作随机变量，我们用一个随机变量及其分布来描述总体。为此常用随机变量的符号或分布的符号X,Y,Z来表示总体。,例1.1研究某灯泡的使用寿命时,总体可用随机变量X来表示,或用其分布函数F(x)表示。,3,二、样本 为了推断总体分布及其各种特征，就必须从总体中按一定法则抽取若干个体进行观测或试验，以获得有关总体的信息.这一抽取过程称为抽样.所抽取的部分个体称为样本,样本中个体的个数称为样本容量.例如容量为n的样本可以看作是n维随机变量( ), 其观察值为( ).,例1.2研究某地区学龄前儿童发育情况,人们关心的是其体重X和身长Y这两个数量指标,则此总体就可用二维随机变量(X,Y)或其联合分布函数F(x,y)表示.,4,简单随机抽样: 它要求满足两点: (1)代表性. 样本中每个个体与所考虑的总体有相同的分布.即样本中每个个体与总体X具有相同的分布. (2)独立性. 样本中每个个体取什么值并不影响其它个体取什么值.即必须是相互独立的随机变量.,由简单随机抽样所得到的样本称为简单随机样本.假如总体的分布函数为F(x),则其简单随机样本的联合分布函数为,5,三、 分布族,在概率论研究中，随机变量的分布总是假设给定的，但在数理统计的研究中，总体的分布是未知的，但总可以假定总体的分布是某一个分布族的成员.,例1.3 在研究某批灯泡的质量时,若关心的是其质量是否合格,若合格记为0,不合格记为1,因此该总体就可用仅取0和1的随机变量X来表示.显然,这个总体的分布就是一个参数为p的二点分布b(1,p),由于p未知,故这个总体分布也是未知的,但可以假定该总体分布是二点分布族 F=b(1,p);0p1,6,若人们关心的是灯泡的寿命。这是一个无限总体。假如人们根据过去的资料知道灯泡的寿命X服从指数分布，其密度函数为 所需确定的参数是0.,7,四、从样本去认识总体, 频数频率分布表及其图示,例1.4 我们通常饮用的矿泉水有19个指标.某市技术监督局一次抽查了58批矿泉水,记录每一批矿泉水的每个指标是否合格,从中可统计出每批矿泉水不合格指标的个数X.这里X是一个离散型随机变量,其一切可能取值为0,1,19.58批矿泉水的指标不合格数构成了一个容量为58的样本的观察值,每个可取0,1,19中某个值,将它们整理后列成表1.1.1,8,表 1.1.1 58批矿泉水不合格指标数的频率、 频数分布表,9,10,(2) 经验分布函数,样本直方图可以形象地去描述总体概率密度函数大致形状,经验分布函数将可以用来描述总体分布函数的大致形状.,定义1.1.1 设总体X的分布函数为F(x),从中获得的样本观察值为 ,将它们从小到大排列成 ,令,称 为该样本的经验分布函数.,11,定义1.1.2 经验分布函数 用S(x)表示样本X1， ，Xn中不大于x的随机变量个数。定义经验分布函数Fn(x)为,12,例1.5 写出经验分布函数,某食品厂用自动装罐机生产净重量为345克的午餐肉罐头,由于随机性,每个罐头的净重有差别,现从中随机取10个罐头,其净重如下: 344,336,345,342,340, 338,344,343,344,343, 求经验分布函数.,13,§1.2 统计量及其分布,1.定义1.2.1 设 是取自某总体的一个容量为n的样本,假如样本函数 中不含任何未知参数,则称T为统计量.统计量的分布称为抽样分布.,2.常用的几个统计量 设 是来自总体X的样本,样本均值 样本均值是反映总体数学期望所在位置信息的一个统计量,是总体数学期望的一个很好的估计.,14,样本方差 样本标准差 样本方差与样本标准差反映了数据取值分散与集中的程度,即反映了总体方差与标准差的信息.,样本k阶原点矩 样本k阶中心矩 它们分别反映了总体k阶(原点)矩与k阶中心矩的信息.,15,样本偏度 SK反映了总体分布密度曲线的对称性信息.当SK0时,分布的形状是右尾长,称为正偏的;当SK0时,分布的形状是左尾长,称为负偏的.,样本峰度 KU反映了总体分布密度曲线在其峰值附近的陡峭程度的信息,当KU0时,分布密度曲线在其峰比正态分布来得陡;当KU0时,比正态分布来得平坦.,16,次序统计量 被称为样本的第i个次序统计量,它是样本 的满足如下条件的函数: 每当样本得到一组观察值( )时,将它们从小到大排列为 ,第i个值 便是 的观察值, 称为该样本的次序统计量.,又 称为该样本的最小次序统计量, 称为该样本的最大次序统计量.,17,样本极差 若样本容量为n,则样本极差 它反映了样本取值范围的大小,也反映了总体取值分散与集中的程度. 极差常在小样本(n30)场合使用,而在大样本场合很少在实际中使用.,这是因为极差仅使用了样本中两个极端点的信息,而把中间的信息都丢弃了,当样本容量越大时,丢弃的信息也就越多,从而留下的信息过少,其使用价值就不大了.,18,(8) 样本 p 分位数和中位数,定义 设 是来自总体 F(x) 样本, 为该样本的次序统计量.,为该样本的 p 分位数(或 p 分位点).,称为样本中位数,显然有,对于 , 称,19,第一四分位数 第三四分位数,20,例2 设 是 F(x) 的样本,此种统计量有 个,加起来平均得:,令,有,从中任选两个分量 和,分别为总体均值与方差,21,22,3.几种常用的分布族, 分布,定义:1.2.2 设 为相互独立的随机变量,且均服从标准正态分布N(0,1),则称随机变量 服从自由度为n的 分布,记作,自由度可理解为平方和中独立变量的个数., 分布性质,(1)设 , 则E(X)=n,D(X)=2n.,(2)可加性:设 , ,且X与Y独立,则,23,下图描绘了 分布密度函数在n=5,10,20时的图形.,24,(2) t分布,定义1.2.3:设XN(0,1), ,且X与Y独立,则称随机变量 所服从的分布为t分布,记为tt(n),称n为自由度.,25,(3)F分布,定义1.2.4:设 , , 且X与y独立,则称随机变量 服从自由度为(n,m)的F分布,记作 .,图1.2.4描绘了 的密度函数曲线,26,(4)分布族,定义1.2.5:定义在正实数上,且用密度函数,表示的概率分布称为分布,记为(,).其中0是形状参数,0是尺度参数.而(,);0,0就是分布族,当=1时的分布为指数分布其密度曲线如下:,27,28,分布族性质,29,(5)分布族,定义1.2.6:定义在（0,1）上,且密度函数,表示的概率分布称为分布记为(a,b)或Be(a,b),其中a0,b0.而(a,b): a0,b0为分布族.,分布有几个重要的特例.当a=1,b=1时, 分布就是U(0,1),30,4、随机变量的分布的分位点,1、设随机变量XF(x),给定常数:01，,若存在 ， 满足 ，,则称 为分布F(x)的上(侧)分位点.,2、设随机变量XN(0,1) , 给定常数:01，,若存在 ， 满足 ，,则称 为标准正态分布的上侧分位点.,31,标准正态分布的分位点,0.001 0.005 0.01 0.025 0.05 0.10,3.090 2.576 2.327 1.96 1.645 1.282,32,设X 2(n)，若对于：01，若存在 满足,则称 为 分布的上分位点。,2分布分位点,33,设Tt(n)，若对:0t(n)= ， 则称t(n)为t(n)的上侧分位点.,t分布分位点,34,设F F(n1, n2) 对于 ：0F(n1, n2)= ， 则称F(n1, n2)为F(n1, n2)的上侧分位点,F分布的分位点,35,1.3 正态总体的抽样分布定理,36,37,第一章 练习题,习题1、设总体XU(0,20) ,取容量为10的样本， 求,38,设X1， ，Xn是取自N（,2)的样本,求样本方差S2的期望与方差。,练习题2,解：由抽样分布定理,再利用2分布的性质,于是，得,39,设X1， ，X10是取自N（0，0.32)的样本, 求,练习题3,解：由2分布的定义，得,于是,其中,