概率论1-3

§1.3 条件概率与独立性,在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.,一、条件概率,1. 条件概率的概念,如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率，将此概率记作P(A|B).,一般地 P(A|B) P(A),例：10件产品中有7件正品,3件次品,7件正品中有3件一等品,4件二等品.现从这10件中任取一件,若已知取出的是正品，求其是一等品的概率.,解：设事件A=任取一件是正品； 事件B=任取一件是一等品；,在A发生的条件下,许多不确定因素已排除，故样本空间从变为A,则,P(B|A)是在A发生的条件下,B发生的概率,故A, B都要发生;因此,P(B|A)等于P(AB)与P(A)的比.,设A、B是两个事件，且P(A)0,则称,2. 条件概率的定义,为在事件A发生的条件下,事件B的条件概率.,(2) 条件概率P(B|A)满足概率公理化定义中的3个条件，因此条件概率P(B|A)也是概率，因此具备概率的一切性质。,注：(1) 当A =时,条件概率P(B|)就是无条件概率P(B)，因为:P(B|)= P(B)/P()= P(B)/ 1= P(B) 。,3. 条件概率的性质(自行验证),2)缩小样本空间的方法计算,4. 条件概率的计算,1) 用定义计算:,P(B)0,P(A|B）=,B发生后的缩减 样本空间所含样 本点总数,在缩减样本空 间中A所含样 本点个数,例 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?,解法1,解法2,解 设A=掷出点数之和不小于10； B=第一颗掷出6点,应用 定义,在B发生后的缩减样本 空间中计算,例: 10个产品中有7个正品, 3个次品,按不放回抽样,抽取2个，求: (1) 在第一次取到正品的条件下第二次又取到正品的概率;（2）在第一次取到次品的条件下第二次取到正品的概率.,解 设A=第一次取到正品； B=第二次取到正品,（1）,另一方面,（2）,由条件概率的定义：,即 若P(B)0,则P(AB)=P(B)P(A|B) (1),二、乘法公式,若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB).,将A、B的位置对调，有,若 P(A)0,则P(AB)=P(A)P(B|A) (2),(1)和(2)式都称为乘法公式, 利用 它们可计算两个事件同时发生的概率,注意P(AB)与P(A | B)的区别！,请看下面的例子,例 甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中 300件是乙厂生产的. 而在这300个零件中，有189个是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？,所求为P(AB).,甲、乙共生产 1000 个,189个是 标准件,300个 乙厂生产,设B=零件是乙厂生产,A=是标准件,所求为P(AB) .,设B=零件是乙厂生产,A=是标准件,若改为“发现它是 乙厂生产的,问它 是标准件的概率 是多少?”,求的是 P(A|B) .,B发生, 在P(AB)中作为结果; 在P(A|B)中作为条件.,例 设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4. 问现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？,解 设A=能活20年以上，B=能活25年以上,依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4,所求为 P(B|A) .,一场精彩的足球赛将要举行, 5个 球迷好不容易才搞到一张入场券.大家都想去,只好用抽签的方法来解决.,5张同样的卡片,只有一张上写有“入场券”,其余的什么也没写. 将它们放在一起,洗匀,让5个人依次抽取.,后抽比先抽的确实吃亏吗？,到底谁说的对呢？让我们用概率论的知识来计算一下,每个人抽到“入场券”的概率到底有多大?,“大家不必争先恐后，你们一个一个 按次序来，谁抽到入场券的机会都 一样大.”,我们用Ai表示“第i个人抽到入场券” i1,2,3,4,5.,显然，P(A1)=1/5，P( )4/5,第1个人抽到入场券的概率是1/5.,也就是说，,则 表示“第i个人未抽到入场券”,因为若第2个人抽到 了入场券，第1个人 肯定没抽到.,也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1个人未抽到，,由于,由乘法公式,P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5,计算得：,这就是有关抽签顺序问题的正确解答.,同理，第3个人要抽到“入场券”，必须第1、第2个人都没有抽到. 因此,(4/5)(3/4)(1/3)=1/5,继续做下去就会发现, 每个人抽到“入场券” 的概率都是1/5.,抽签不必争先恐后.,也就是说，,例: 假设在空战中,若甲机先向乙机开火,则击落乙机的概率为0.2;若乙机未被击落,就进行还击,击落甲机的概率为0.3;若甲机亦未被击落,则再次进攻乙机,击落乙机的概率为0.4,在这几个回合中,分别计算甲、乙被击落的概率？,显然 P(A|B)=1/6,这就是说,已知事件B发生,并不影响事件A发生的概率,这时称事件A、B独立.,三、两事件的独立性,A=第二次掷出6点， B=第一次掷出6点，,先看一个例子：,将一颗均匀骰子连掷两次，,设,P(A)=1/6,即 P(A|B)=P(A),由乘法公式知，当事件A、B独立时，有 P(AB)=P(A) P(B),用P(AB)=P(A) P(B)刻划独立性,比用 P(A|B) = P(A) 或 P(B|A) = P(B) 更好,它不受 P(B)0 或 P(A)0 的制约.,若两事件A、B满足 P(AB)= P(A) P(B) (1)则称A、B相互独立，简称A、B独立.,1.两事件独立的定义,证明：(必要性) 由独立性知, P(AB)=P(A)P(B),而乘法公式为 P(AB)= P(A|B) P(B),又因为P(B)0,所以P(A)= P(A |B) .,则P(A)P(B)=P(A|B)P(B),同理可证：当P(A)0,所以P(B)= P(B|A) .,(充分性) 因为P(A)= P(A|B),所以,P(AB)=P(A|B) P(B)=P(A)P(B).,例 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记 A=抽到K, B=抽到的牌是黑花色的,问事件A、B是否独立？,可见, P(AB)=P(A)P(B),由于 P(A)=4/52=1/13,故 事件A、B独立.,解,P(AB)=2/52=1/26.,P(B)=26/52=1/2,前面我们是根据两事件独立的定义作出结论的,在实际应用中, 往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立.,由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率，故认为A、B独立 .,例 甲、乙两人向同一目标射击,记 A=甲命中, B=乙命中，A与B是否独立？,（即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率）,请问：如图的两个事件是独立的吗？,即 若A、B互斥，且P(A)0, P(B)0,则A与B不独立.,反之,若A与B独立,且P(A)0, P(B)0,则A、B不互斥.,而P(A) 0, P(B) 0,故 A、B不独立,我们来计算：,P(AB)=0,设A、B为互斥事件，且P(A)0,P(B)0,下面四个结论中，正确的是：,前面我们看到独立与互斥的区别和联系，,1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A) 3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B),设A、B为独立事件，且P(A)0,P(B)0,下面四个结论中，正确的是：,1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A) 3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B),再请你做个小练习.,A、B独立,概率的性质,仅证A与 独立,定理 2 若两事件A、B独立, 则,也相互独立.,证明,故 A与 独立,定理3 设0P(A)1, 0P(B)1,则下面四个等式等价, 即其中任何1个成立,另外3个也成立：,注：两个事件A和独立，不仅事件的发生与否不影响事件的发生的概率；而且事件的发生与否不影响事件的发生的概率.,2.多个事件的独立性,四个等式同时成立,则称事件A、B、C相互独立.,请注意多个事件两两独立与相互独立的区别与联系,两两独立,相互独立,对 n (n 2)个事件,?,即,例3 三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？,解 记 Ai=第i个人破译出密码 i=1 , 2 , 3,已知, P(A1)=1/5 , P(A2)=1/3 , P(A3)=1/4,A=成功破译密码,例4：甲、乙、丙三部机床独立工作，在同一段时间内它们不需要工人照顾的概率分别为0.7,0.8,0.9,求在这段时间内,最多只有一台机床需要照管的概率?,解 记 A1 , A2 , A3分别表示甲、乙、丙机床恰需人照管, i=1 , 2 , 3.,