椭圆（讲）-2019年高考数学（理）---精校解析 Word版

2019年高考数学讲练测【新课标版 】【讲】第九章 解析几何第05节 椭 圆【考纲解读】考点考纲内容5年统计分析预测椭圆(1)了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.(2)掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质.(3)了解圆锥曲线的简单应用.(4)理解数形结合的思想.2014新课标I. 20；II.20;2015新课标I. 14；II.20;2016新课标II. 20;III. 11.2017新课标I.20;II.20;III. 10.2018新课标I. 19；II.12; III.20.1.高考对椭圆的考查，主要考查以下几个方面：一是考查椭圆的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等相关问题；二是考查椭圆的标准方程，结合椭圆的基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查椭圆的几何性质，较多地考查离心率问题；四是考查直线与椭圆的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式等.2.备考重点： (1)掌握椭圆的定义、标准方程、几何性质，关注椭圆的“特征三角形”；（2）熟练运用方程思想及待定系数法；（3）利用数形结合思想，灵活处理综合问题.【知识清单】1.椭圆的定义及其应用1.椭圆的概念(1)文字形式：在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆这两定点叫做椭圆的焦点 ，两焦点间的距离叫做焦距(2)代数式形式：集合若，则集合P为椭圆；若，则集合P为线段；若，则集合P为空集2.椭圆的标准方程：焦点在轴时，；焦点在轴时，2.椭圆的标准方程1. 椭圆的标准方程：（1）焦点在轴，；（2）焦点在轴，.2满足条件：3.椭圆的几何性质椭圆的标准方程及其几何性质条件图形标准方程范围对称性曲线关于轴、原点对称曲线关于轴、原点对称顶点长轴顶点 ,短轴顶点长轴顶点 ,轴顶点焦点焦距离心率，其中通径过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为4.直线与椭圆的位置关系1.直线与椭圆位置关系的判断(1)代数法：把椭圆方程与直线方程联立消去y，整理得到关于x的方程Ax2BxC0.记该一元二次方程根的判别式为，若0，则直线与椭圆相交；若0，则直线与椭圆相切；若0，则直线与椭圆相离(2)几何法：在同一直角坐标系中画出椭圆和直线，利用图象和性质可判断直线与椭圆的位置关系2直线与椭圆的相交长问题：（1）弦长公式：设直线与椭圆有两个公共点则弦长公式为或（2）弦中点问题，适用“点差法”.【重点难点突破】考点1 椭圆的定义及其应用【1-1】【2018年上海卷】设P是椭圆x25+y23=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）A 22 B 23 C 25 D 42【答案】C【解析】椭圆x25+y23=1的焦点坐标在x轴，a=5，P是椭圆x25+y23=1上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=25故选：C【1-2】已知、是椭圆：的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则_.【答案】【领悟技法】1. 涉及到动点到两定点距离之和为常数的问题，可直接用椭圆定义求解2.涉及椭圆上点、焦点构成的三角形问题，往往利用椭圆定义、勾股定理或余弦定理求解.【触类旁通】【变式一】已知ABC的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则的周长是_【答案】【解析】.如图所示，的周长为， 【变式二】【山东省威海市2018届二模】已知椭圆x28+y22=1左右焦点分别为F1,F2，过F1的直线l交椭圆于A,B两点，则|AF2|+|BF2|的最大值为（ ）A 32 B 42 C 62 D 72【答案】D【综合点评】应用椭圆的定义，可以得到结论：（1）椭圆上任意一点P(x，y)(y0)与两焦点F1(c,0)，F2(c,0)构成的PF1F2称为焦点三角形，其周长为2(ac)(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边，a2b2c2.考点2 椭圆的标准方程【2-1】【山西省大同市与阳泉市2018届二测】已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦点为F1-2,0，过点F1作倾斜角为30°的直线与圆x2+y2=b2相交的弦长为3b，则椭圆的标准方程为（ ）A y28+x24=1 B x28+y24=1 C y216+x212=1 D x216+y212=1【答案】B【解析】由左焦点为F1-2,0，可得c=2，即a2-b2=4，过点F1作倾斜角为30的直线的方程为y=33x+2，圆心0,0到直线的距离d=233+9=1，由直线与圆x2+y2=b2相交的弦长为3b，可得2b2-1=3b，解得b=2,a=22，则椭圆方程为x28+y24=1，故选B.【2-2】【河北省衡水中学2019届高三上期中】已知圆F1:（x+2）2+y2=36，定点F2（2，0），A是圆F1上的一动点，线段F2A的垂直平分线交半径F1A于P点，则P点的轨迹C的方程是（ ）A x24+y23=1 B x29+y25=1 C x23+y24=1 D x25+y29=1【答案】B【解析】由已知，得|PF2|=|PA|，所以|PF2|+|PF1|=|PA|+|PF1|=|F1A|=6又|F1F2|=4，46，根据椭圆的定义，点P的轨迹是F1，F2为焦点，以3为实轴长的椭圆，所以2a=6，2c=4，所以b=5，所以，点P的轨迹方程为：x29+y25=1故选：B【领悟技法】1求椭圆标准方程的方法求椭圆的标准方程，除了直接根据定义外，常用待定系数法(先定性，后定型，再定参)当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设方程为 ，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为 (A0，B0且AB)，这种形式在解题中更简便2椭圆的标准方程有两种形式，其结构简单，形式对称且系数的几何意义明确，在解题时要防止遗漏，要深刻理解椭圆中的几何量等之间的关系，并能熟练地应用【触类旁通】【变式一】【黑龙江省海林市朝鲜族中学】焦点在x轴上的椭圆的长轴长等于4，离心率等于32，则该椭圆的标准方程为()A x22y21 B x24y21C x24+y23=1 D x216+y212=1【答案】B【变式二】求与椭圆有相同离心率且经过点的椭圆标准方程【答案】或【解析】法一：，设所求椭圆方程为，则，从而，又，方程为.若焦点在轴上，设方程为则，且，解得.故所求方程为.法二：若焦点在轴上，设所求椭圆方程为，将点代入，得，故所求方程为.若焦点在轴上，设方程为代入点，得，.综上知，所求椭圆的标准方程为或.【综合点评】1.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤是：(1)作判断：根据条件判断焦点的位置(2)设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为 (3)找关系：根据已知条件，建立关于的方程组(4)求解，得方程2(1)方程与有相同的离心率(2)与椭圆共焦点的椭圆系方程为，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便考点3 椭圆的几何性质【3-1】【吉林省长春市实验中学2019届高三上开学】直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的13，则该椭圆的离心率为（ ）A 13 B 12 C 23 D 34【答案】C【3-2】【湖南省长沙市长郡中学2018届高考模拟（二）】已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x-4y=0交椭圆E于A，B两点，若|AF|+|BF|=6，点M与直线l的距离不小于85，则椭圆E的离心率的取值范围是（ ）A (0,223 B (0,53 C 63,1) D 223,1)【答案】B【解析】可设F'为椭圆的左焦点，连接AF',BF'，根据椭圆的对称性可得四边形AFBF'是平行四边形，6=AF+BF=AF'+BF=2a，a=3，取M0,b，点M到直线l的距离不小于85，所以，4b3+685，解得b2,e2=9-b2959e53，椭圆E的离心率的取值范围是0,53，故选B.【领悟技法】1.在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建立关于参数c、a、b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围较多时候利用解题；2.对焦点三角形的处理方法，通常是运用.【触类旁通】【变式一】椭圆的两顶点为，且左焦点为F，是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为()A B C D【答案】B【解析】由题可知为直角三角形，其中|AB|，由勾股定理，即，整理得，同除，【变式二】已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，F1PF260°.(1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：的面积只与椭圆的短轴长有关【答案】（1）；（2）见解析.（2）由（1）知，所以的面积为即的面积只与椭圆的短轴长有关【综合点评】1.学习中，要注意椭圆几何性质的挖掘：(1)椭圆中有两条对称轴，“六点”(两个焦点、四个顶点)，要注意它们之间的位置关系(如焦点在长轴上等)以及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为ac)，过焦点垂直于长轴的通径长为等(2)设椭圆上任意一点P(x，y)，则当x0时，|OP|有最小值b，这时，P在短轴端点处；当xa时，|OP|有最大值a，这时P在长轴端点处(3)椭圆上任意一点P(x，y)(y0)与两焦点F1(c,0)，F2(c,0)构成的PF1F2称为焦点三角形，其周长为2(ac)(4)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边，a2b2c2.2重视向量在解析几何中的应用，注意合理运用中点、对称、弦长、垂直等几何特征考点4 直线与椭圆的位置关系【4-1】【2018年理新课标I卷】设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）设为坐标原点，证明：.【答案】(1) AM的方程为或. (2)证明见解析.【解析】（1）由已知得，l的方程为x=1.由已知可得，点A的坐标为或.所以AM的方程为或.（2）当l与x轴重合时，.当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以.当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为，则，直线MA，MB的斜率之和为.由得.将代入得.所以，.则.从而，故MA，MB的倾斜角互补，所以.综上，.【4-2】【2017课标1，理20】已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（1，），P4（1， ）中恰有三点在椭圆C上.