《函数的单调性l》ppt课件
函数的单调性,如图为某地区2009年元旦24小时内的气温变化图观察这张气温变化图：,问题1：说出气温在哪些时段内是逐步升高的或下降的？,问题2：怎样用数学语言来刻画上述时段内“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征？,如图为某地区2009年元旦24小时内的气温变化图观察这张气温变化图：,问题1：说出气温在哪些时段内是逐步升高的或下降的？,问题2：怎样用数学语言来刻画上述时段内“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征？,t1,t2,f(t1),f(t2),如图为某地区2009年元旦24小时内的气温变化图观察这张气温变化图：,问题3：对于任意的t1, t24,16时，当t1 t2时，是否都有f(t1)f(t2)呢?,对区间I内 x1，x2 ， 当x1x2时， 有f(x1)f(x2),图象在区间I逐渐上升,？,O,对区间I内 x1，x2 ， 当x1x2时， 有f(x1)f(x2),x1,x2,？,I,f(x1),f(x2),O,M,N,任意,区间I内随着x的增大，y也增大,图象在区间I逐渐上升,对区间I内 x1，x2 ， 当x1x2时， 有f(x1)f(x2),x1,x2,都,f(x1),f(x2),O,设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.,如果对于区间I上的任意,定义,M,N,任意,两个自变量的值x1,x2，,区间I内随着x的增大，y也增大,图象在区间I逐渐上升,I,那么就说在f(x)这个区间上是单调 减函数，I称为f(x)的单调 减 区间.,类比单调增函数的研究方法定义单调减函数.,x,设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.,如果对于属于定义域A内某个区间I上 的任意两个自变量的值x1,x2，,设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.,如果对于属于定义域A内某个区间I上 的任意两个自变量的值x1,x2，,那么就说在f(x)这个区间上是单调增 函数，I称为f(x)的单调 区间.,增,当x1x2时，都有 f (x1 ) f(x2 )，,单调区间,（2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;,（1）如果函数 y =f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数，那么就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性。 在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。,注意：,判断1：函数 f (x)= x2 在 是单调增函数；,（2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;,（1）如果函数 y =f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数，那么就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性。 在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。,注意：,判断2：定义在R上的函数 f (x)满足 f (2) f(1)，则函数 f (x)在R上是增函数；,（3） x 1, x 2 取值的任意性,例2.画出下列函数图像，并写出单调区间：,数缺形时少直观,_,讨论1：根据函数单调性的定义，,2试讨论 在 和 上的单调性？,？,单调增区间：,单调减区间：,4，14,0，4,，14，24,问题5：（1）你能找出气温图中的单调区间吗?,运用,x,y,O,x,y,O,x,y,O,（2）你能说出你学过的函数的单调区间吗？请举例说明,运用,问题6：证明 在区间（0，+ ）上是单调减函数,一、用定义证明函数的增减性.,2.证明: f (x) = x2 2x在区间(1, + )内是减函数.,2.证明: f (x) = x2 2x在区间(1, + )内是减函数.,证明: 设x1,x2(1, + ) 且x1x2,则 f (x2) f (x1) =( x222x2) ( x122x1), = x12 x222x1 + 2x2, = (x1x2) (x1+ x22 ), x1 0,又 x1,x2(1, + ),x2 + x120,2、若定义在R上的单调减函数 满足 ，试确定实数 的取值范围吗？,1、定义在R上的单调函数 满足 ，那么函数 是R上 的单调增函数还是单调减函数？,深化,请思考下列问题:,例1、下图是定义在区间-5，5上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上，它是增函数还是减函数？,解：函数y=f(x)的单调区间有 -5,-2),-2,1),1,3),3,5,其中y=f(x)在区间-5,-2), 1,3)是减函数， 在区间-2,1), 3,5 上是增函数。,例2、证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数。,证明：,设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1x2，则,f(x1)f（x2）（3x12） （3x22）,3（ x1x2 ）,由x1x2，得x1x20,于是f（x1）f（x2）0,即f（x1）f（x2）,所以，函数f(x)=3x+2在R上是增函数。,取值,作差,变形,定号,下结论,例3、物理学中的玻意耳定律 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大。试用函数的单调性证明之。,证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域(0，+)上的任意两个实数，且V1V2，则,由V1，V2 (0，+)且V10, V2- V1 0,又k0,于是,所以，函数 是减函数.也就是说，当体积V减少时，压强p将增大.,取值,定号,结论,三判断函数单调性的方法步骤,1 任取x1，x2D，且x1x2； 2 作差f(x1)f(x2)； 3 变形（通常是因式分解和配方）； 4 定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）； 5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）,利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：,思 考？,1.判断函数f (x)x22x+3 的单调区间，并对其减区间加 以证明。,例一 、 求函数 的单调区间。,解：,在(-2,5上的最小值,3.判断函数f (x) 的单调区间，并对其增区间加以证明。,研究： 函数,的单调性。,呢？,谢谢,再见,函数的基本性质,1.3.1 函数的单调性,观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：,1、观察这三个图象，你能说出图象的特征吗？ 2、随x的增大，y的值有什么变化？,画出下列函数的图象，观察其变化规律：,1、从左至右图象上升还是下降 _? 2、在区间 _上，随着x的增大，f(x)的值随着 _ ,f(x) = x,(-,+),增大,上升,1、在区间 _ 上，f(x)的值随着x的增大而 _ 2、 在区间 _ 上，f(x)的值随着x的增大而 _,f(x) = x2,(-,0,(0,+),增大,减小,画出下列函数的图象，观察其变化规律：,一、函数单调性定义,一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数,1增函数,一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数 ,2减函数,在 增函数 在 减函数,在 增函数 在 减函数,在(-,+)是减函数,在(-,0)和(0,+)是减函数,在(-,+)是增函数,在(-,0)和(0,+)是增函数,2. 函数y =x2 +2 | x | + 3的图象并指出它的的单调区间,函数的单调性 能力拓展,3.(1991年全国) 证明函数f (x) = x3 + 1在(, + )上是减函数.,证明: 设x1 ,x2R 且 x1 x2, x1 x2 x1 x2 0,则 f (x2)f (x1) =(x23 + 1) (x13 + 1) = x13 x23 = (x1 x2)(x12 + x1x2 + x22),f(x2) f (x1) 0,f(x1) f (x2),f(x) = x3 + 1在(, + )上是减函数.,证明: 函数f (x)的定义域为R.,法一：设x1,x2R且x1 x2则,课堂小结,一般地，设函数y f(x) 的定义域为A，区间I A,如果对于区间I内的任意两个值x1、x2，当x1x2时，都 有f(x1)f(x2)，那么就说yf(x)在区间I上是单调增函数， I称为yf(x)的单调增区间,单调增函数,区间I,任意,当x1x2时，都,有f(x1)f(x2),问题4： 类比单调增函数概念，你能给出单调减函数的概念吗？,1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；,注意：,2 、必须是对于区间I内的任意两个自变量x1，x2；当x1f(x2) 分别是增函数和减函数.,3、 如果函数y=f(x)在某个区间I上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.,
