魏雅薇复变函数论第二章
第二章,www.378700000.com,解析函数,第二章 解析函数,南开大学 魏雅薇,解析函数,1 复变函数的导数,2 解析函数,A,B,南开大学 魏雅薇,复变函数的导数,导数的定义,定义 设 是定义在区域D上的,存在，则称 在 点可导, 并把这个极,限值称为 在 点的导数，记做,复变函数, z0是区域D内的定点. 若极限,南开大学 魏雅薇,定义中的极限式可以写为,即当 在 点可导时,南开大学 魏雅薇,此时，对D内任意一点z, 有,也可用,等表示 在z点的导数.,若 在区域 D内每一点都可导, 则称,在区域 D内可导.,南开大学 魏雅薇,处处可导，且,解 因为,所以,南开大学 魏雅薇,连续，但处处不可导.,证明 对复平面内任意点z, 有,故,南开大学 魏雅薇,但是,设 沿着平行于x 轴的,方向趋向于 0, 即,于是,南开大学 魏雅薇,不存在.,设 沿着平行于y 轴的方向趋向于 0, 即,南开大学 魏雅薇,例,解,南开大学 魏雅薇,所以,南开大学 魏雅薇,可导与连续的关系,函数f (z)在z0处可导，则在z0处一定连续, 但 函数f (z)在z0处连续不一定在z0处可导.,事实上,由 f (z)在z0点可导, 必有,南开大学 魏雅薇,反之, 由前例 知, 不可导.,但是二元实函数 连续,于是根据 连续的 充要条件知, 函数,南开大学 魏雅薇,连续.,求导法则,由于复变函数中导数的定义与一元实函数 导数的定义在形式上完全一致，同时，复变函 数中的极限运算法则也和实函数中一样，因而 实函数中的求导法则可推广到复变函数中，且 证明方法相同.,求导公式与法则:,南开大学 魏雅薇,其中,南开大学 魏雅薇,解析函数,定义 设 在区域D有定义.,(1) 设 , 若存在 的一个邻域，使得,在此邻域内处处可导, 则称 在 处解析,也称 是 的解析点.,(2) 若 在区域D内每一点都解析，则称,在区域D内解析, 或者称 是区域D内的,解析函数.,南开大学 魏雅薇,(3) 设G是一个区域，若闭区域,且 在G内解析，则称 在闭区域 上,解析.,函数 在 处解析和在 处可导意义,不同，前者指的是在 的某一邻域内可导,但后者只要求在 处可导.,函数 在 处解析和在 的某一个邻,域内解析意义相同.,南开大学 魏雅薇,复变函数在区域内解析与在该区域内可导 是等价的.,事实上，复变函数在区域内解析显然在该 区域内可导.,南开大学 魏雅薇,若函数f(z ) 在 处不解析，但在 的任一邻域内总有f(z ) 的解析点 则称 是 f(z)的奇点.,若 是 f(z) 的奇点, 但在 的某邻域内,除 外, 没有其他的奇点，则称 是函数f(z),的孤立奇点.,南开大学 魏雅薇,根据求导法则，很容易得到下面的结论.,设函数 在区域D内解析, 则,也在D内解析. 当 时, 是,的解析点. 特别地, 多项式P(z)在全平面内解析,有理分式在复平面内除分母为零的点之外解析,分母为零的点是有理分式的孤立奇点.,南开大学 魏雅薇,例,解,南开大学 魏雅薇,例,解,南开大学 魏雅薇,例 证明 在 处可导,但处处不解析.,证明 根据导数的定义,因此 在 处可导，且,当 时, 由 得,南开大学 魏雅薇,故,z分别从平行于x, y轴方向趋于z0时， 分别,以1和-1为极限，因此 不存在. 又因为,所以 不存在，即,在 时不可导, 从而在复平面内处处不解析.,南开大学 魏雅薇,在此强调:,函数在区域内解析与在区域内可导是等价的.,但是,函数解析是与区域密切相伴的,要比可导的要求要高得多,即函数在z0点解析,函数在一点处解析与在一点处可导不等价,函数在z0点可导,函数闭区域上解析与在闭区域上可导不等价,即函数在闭区域上解析,函数在闭区域上可导,说明,南开大学 魏雅薇,通过上述用定义讨论函数的解析性，,我们深深地体会到：,用定义讨论函数的解析性绝不是一种好办法！,寻求研究解析性的更好的方法,任务！,南开大学 魏雅薇,函数可导的充要条件,南开大学 魏雅薇,复变函数可微的概念在形式上与一元实变函数 的微分概念完全一致. 复变函数可微与可导是否也具有一元实变函数 可微与可导的关系？,函数可微的概念,定义 设函数 在 的某邻域内有定义,若存在复常数A, 使得,其中 则称 在 点可微.,南开大学 魏雅薇,引理 复变函数 在点 可导的充分必要,条件是 在 点可微，且,证明 若 存在，设 则,令 则,且,南开大学 魏雅薇,反之，如果,则,令 则 存在.,这个引理表明, 函数 在 可导与在,可微等价.,南开大学 魏雅薇,与一元实函数类似, 记,称之为 在 处的微分.,如果函数 在区域D内处处可微, 则称,在区域D内可微, 并记为,南开大学 魏雅薇,函数可导的充要条件,定理 复变函数,在点 处可微 ( 即可导 ) 的充分必要,条件是二元函数 在 处都,可微，并且满足Cauchy-Riemann方程,此时,南开大学 魏雅薇,证明 必要性. 若,(a, b是实常数).,由 f(z) 可微,其中,南开大学 魏雅薇,存在，设,显然, 当 时，,则 于是有,由两个复数相等的条件可得,设,南开大学 魏雅薇,因此， 在 处可微，且,充分性. 若 在 处可微,且满足Cauchy-Riemann方程. 令,南开大学 魏雅薇,则,其中 且当 时，,于是,南开大学 魏雅薇,由 可得,显然, 有如下结论成立,南开大学 魏雅薇,例,证,注：CR方程是函数可导的必要条件而非充分条件,南开大学 魏雅薇,南开大学 魏雅薇,解析函数的判定方法:,(1) 如果能够用求导公式或求导法则验证复 变函数f (z)的导数在区域D内处处存在, 则可直 接断定f (z) 在区域D内解析.,(2) 如果复变函数f (z)=u(x,y)+iv(x,y)中的函 数 u(x,y)和 v(x,y)在区域D内各个一阶偏导数连 续 (因而u(x,y)和v(x,y)在区域D内可微), 并且满 足Cauchy-Riemann方程, 则由解析函数的充要 条件可以断定函数f (z)在区域D解析.,南开大学 魏雅薇,例 证明函数,是复平面C上的解析函数，且,证明 显然，,在全平面上可微，且,南开大学 魏雅薇,在全平面处处满足Cauchy-,Riemann方程, 所以 是复平面C上的解析,函数, 并且,Cauchy-Riemann方程在解析函数论及其 在力学、物理学等的应用中具有根本性的意义, 特别是在流体力学和静电场理论中，起到重要 作用.,南开大学 魏雅薇,例 设,其中 a, b, c, d是常数，问它们取何值时, 函数 f (z),在复平面上解析.,解 显然，,在全平面可微，且,南开大学 魏雅薇,容易看出, 当 时, 函数,满足Cauchy-Riemann方程, 这时,函数 在全平面解析.,南开大学 魏雅薇,例,证,要使CR方程成立，则有,南开大学 魏雅薇,和 在全平面内处处可微，但,只有在实轴 上满足Cauchy-Riemann方程,所以 在实轴上可微. 但在任何一点的邻域,内都有不可微的点，因此， 处处不解析.,例 设 问,在何处可微? 是否解析?,解 记 显然, 函数,南开大学 魏雅薇,例 如果 在区域D内处处为零,则f (z)在区域D内为常数.,证明 根据可微的充要条件,所以 都是常数.,因此 f (z)在区域D内为常数.,南开大学 魏雅薇,参照以上例题可进一步证明:,南开大学 魏雅薇,导数的几何意义,所以,.,设w=f (z)在区域 D内解析, 且在 D内,设 是 D内过 的,有向光滑曲线, t 增大的方向为正向.,于是w=f (z)将z平面上有向,对于,因为 C 光滑,(1) 的几何意义,光滑曲线 t 增大的方向,.,.,光滑曲线C 映射成w平面内过点 的有向,为正向,且 是曲线G在w0处的,切向量.,因为 所以,如果将x轴与u轴重合, 将y轴与v轴重合, 即将z,平面与w平面重叠, 那么曲线C在 z0 处的切线转动,之后与曲线G 在 w0 处的切线方向一致.,在这个意义上, 就是曲线C 经过w=f (z),映射后在z0处的转动角. 显然转动角与C 无关.,如果 是,过z0点的D内两条有向光滑曲线，,则在映射w=f (z)下, C1和C2在w平面上的像分别为,并且 因此,.,.,所以,G1和G2在w0处的夹角,C1和C2在z0处的夹角,过z0两条光滑曲线C1、C2在 z0处夹角的大小与方向,和在映射w=f (z)下的像G1 、G2在w0处夹角的大小与,方向相同, 即 时, 映射w=f (z)具有保角性.,.,.,.,.,存在，则称此极限值为曲线C经函数=f (z)映射后在z0处的伸缩率,定义 当z沿曲线C趋向于z0点时，如果,(2) 的几何意义,.,.,.,结论:,方向无关. 所以这种映射具有伸缩率的不变性.,初等解析函数,1 指数函数,2 三角函数和双曲函数,3 对数函数,4 一般幂函数,南开大学 魏雅薇,指数函数,在z平面上解析，且,当 y=0时,给出下面定义.,定义 假设,由前例可知, 函数,南开大学 魏雅薇,当z为实数, 即,与通常实指数函数一致, 因此,则由,定义复指数函数，记,或简记为,显然,与指数函数符号一致 与Euler公式相一致,南开大学 魏雅薇,定理 设 为指数函数，则 在全平面,解析， 且,即,南开大学 魏雅薇,证明 证明(1) . 令,于是由指数函数定义,南开大学 魏雅薇,南开大学 魏雅薇,是周期函数的说明,因为：,(5)极限,不存在的说明,例,解,南开大学 魏雅薇,例
