南华大学《核辐射探测学》教学课件 第六章 放射性测量的误差和数据处理

,放射性事件与核事件，例如核衰变、带电粒子在介质中损耗能量产生电子-离子对、射线或中子与 物质相互作用产生带电粒子等，在一定时间间隔内事件发生的数目和某一事件发生的时刻都是随机的，即具有统计涨落性。因此在实验测量中，一定时间内测到的核事件数目或某种核事件发生的时刻也是随机的。了解放射性事件随机性方面的知识，一方面可以检验探测仪器的工作状态是否正常，分析测量值出现的不确定性是出于统计性的原因还是仪器本身有其它误差因素，另一方面可对所测得的计数值进行一些合理校正，给定正确的误差范围。,第六章 放射性测量的误差和数据处理,第一节 核衰变数和计数的统计分布,在放射性测量中，即使所有实验条件都是稳定的，如源的放射性活度、源的位置、源与探测器间的距离、探测器的工作电压等都保持不变，在相同时间内对同一对象进行,2019/1/13,南华大学核辐射探测学 授课人：屈老师,1,多次重复测量，每次测到的计数并不完全相同而是围绕某个平均值上下涨落，这种现象称为放射性计数的统计涨落。这种涨落不是由观测者的主观因素（如观测不准确）造成的，也不是由测量条件变化引起的，而是微观粒子运动过程中的一种规律性现象，是放射性原子核衰变的随机性引起的。在放射性核衰变中，N0个原子核在某个时间间隔内衰变的数目N是不确定的，这就引起了放射性测量中计数的涨落，它服从统计分布规律。另一方面，原子核衰变发出的粒子能否被探测器所接收并引起计数，也有统计涨落问题，即探测效率的随机性问题。下面根据数理统计的理论分别讨论其规律性。,一、核衰变的统计分布,假定在t=0时刻有N0个放射性原子核，在某一时刻t内将有一部分核发生衰变。先考虑一个原子核的情形。假如在某一短时间间隔 t内放射性原子核衰变的概率p与此原子核过去的历史和现在的环境无关，则p正比于 t,因此p= t。,2019/1/13,南华大学核辐射探测学 授课人：屈老师,2,比例常数是该种放射性核素的衰变常数。因此衰变与不衰变是两种相互排斥的事件，两者概率之和为1，所以该原子核经过 t时间未发生衰变的概率是 q=1p=1 t,若将时间t划分成i个时间间隔,每个时间间隔 t=t/i，那末该原子核经过 t未发生衰变的概率为,经过t时间后未发生衰变的概率为,令i,则t0，我们有,2019/1/13,南华大学核辐射探测学 授课人：屈老师,3,所以一个放射性原子核经过t时间后未发生衰变的概率为et ，那么对于t=0时刻的N0个原子核。在经过t时间后未发生衰变的原子核数目为 N=N0 et (6.1),这就是我们熟知的放射性原子核衰变的基本规律，其中，为表示单位时间内衰变概率大小的衰变常数。,1.二项式分布,放射性原子核的衰变可以看成数理统计中的伯努利试验问题：在t=0时的N0个原子核中，任何一个核在t时间内衰变的概率为p=1e-t，不衰变的概率为q=1 p=e-t,显然，qp1。这样的情况服从二项式分布，即在t时间内发生核衰变数为N的概率为：,2019/1/13,南华大学核辐射探测学 授课人：屈老师,4,对任何一种分布，有两个最重要的数字特征。一个是数学期望值E(N)（简称期望值,在物理中有时也称平均值,用 表示),它表示随机变数N取值的平均位置;另一个是方差D(N)，又常用2表示。它表示随机变数N取值相对于期望值E(N)的离散程度。方差的开方值称均方根差，用表示。对以上的二项式分布，相应的期望值与方差分别为,即：,2019/1/13,南华大学核辐射探测学 授课人：屈老师,5,假如时间t远小于半衰期，即t1，可不考虑源活度的变化，这时上式可简化为,在 数值较大时，由于N值出现在平均值 附近的概率较大，即涨落 ，所以上式还可以简化为,即可用任意一次观测到的衰变核数代替平均值来进行计算。,二项式分布有两个独立分布的参数N0和 p, N0总是一个很大的数目，用起来很不方便，而且计算比较复杂。二项式分布可以简化为泊松分布或高斯分布。,2. 泊松分布,在二项式分布中，当N0很大，且t1时，则有： p=1e-t1,2019/1/13,南华大学核辐射探测学 授课人：屈老师,6,，这样， =N0pN0。这意味着N与 和N0相比足够小。可得到,将上式代入(6.2)式，并注意到 =N0P,就得到,于是二项式分布即过渡到泊松分布。对于N0不小于100，而p不大于0.01，能很好的近似于二项式分布。在泊松分布中，N取值范围为所有正整数（0，1，2，3,)并在N= 附近时，p(N)有较大值。泊松分布中只存在一个参数，即平均值 ， = N0p.当 较小时，分布是不对称的；若 较大时，分布逐渐趋向于对称，如下图图所示。泊松分布的均方根差平方2为,2019/1/13,南华大学核辐射探测学 授课人：屈老师,7,因为1e-t1,且N0p= N0t也是一个不大的常数，所以(6.4)式 可简化为 ，而(6.5)式中1e-t N0t, e-t 1，所以(6.5)式简化为 。,泊松分布的图形m-数学期望,2019/1/13,南华大学核辐射探测学 授课人：屈老师,8,3 高斯分布 高斯分布又称正态分布，当 1时，二项式分布可以简化为高斯分布,高斯分布的期望值与方差分别为,高斯分布是对称的，一般当 时，泊松分布就可以用高,2019/1/13,南华大学核辐射探测学 授课人：屈老师,9,斯分布来代替了。在右图中列出了当 =20时这两种分布的图形，可见它 们已经很相近了。,此外，在二项式分布与泊松分布 中，N是离散性随机变化，只限于取 整数值。但对于高斯分布来说，N可以 是离散变数，也可以是连续型随机变数 ，不限于只取整数值。所以（6.11）式 中的P(N)可理解为在N处的概率密度函数。此时核衰变数为N的概率，P(N)可以写成,2019/1/13,南华大学核辐射探测学 授课人：屈老师,10,在用正态分布计算时，必须正确写出积分限，例如原子核衰变数落在某一数值区间n1，n2内的概率为,当N很大时，为计算方便，可用下式代替,实际使用中，这一积分一般不直接计算，通常利用现成的标准高斯分布积分数值表。数值表用的标准高斯分布函数积分一般表示为,2019/1/13,南华大学核辐射探测学 授课人：屈老师,11,为了计算（6.14)式，须做以下的变量置换(称为标准化),令,于是得,注意到函数(z)的奇对称性，当计算(-z)时可利用如下关系式 (-z) (z),二、计数的统计分布,在大量的核辐射测量中是采用脉冲探测器（即探测器工作在脉冲方式）对核衰变产生的粒子进行探测，只有被探测器接收并能引起计数的事件才为人所感知。但是，一方面，并不是所有的核衰变事件都能进入探测器中；另一方面，每个进入探测器中的粒子可能被记录下来，也可能不被记录下来，即粒子的探测也是一个随机过程。,2019/1/13,南华大学核辐射探测学 授课人：屈老师,12,脉冲计数的测量过程如下图所示。图中在时间t内放射源发出的粒子数为N1。只有在立体角内的粒子才能射出探测器，这部分粒子数用N2表示。射入探测器的粒子不一定能产生输出信号脉冲。假设粒子射入后能产生信号脉冲的的概率为(这也就是探测器的本征效率)，最终探测器在时间t内输出的脉冲数为N3。已知N1是遵守泊松分布的，其期望值为 (N0是放射性核总数 )。,1.探测器输出的脉冲数,2019/1/13,南华大学核辐射探测学 授课人：屈老师,13,由探测器测量过程，通过概率论分析可看出， N3实际上是一个三级的串级型随机变量。,为了便于理解，我们先分析射入探测器的粒子数N2。我们考虑两种随机试验。第一种是放射源在t内发射粒子，用随机变量N1表示。第二种是一个从放射源射出的粒子落在立体角内或外。这是一个伯努利型随机试验，粒子要么落在内，要么落在外，再没有第三种可能。如果放射源发射粒子是各向均匀的，则落在内的概率为/4。设用伯努利型随机变量N表示射入内的粒子数(N1代表射入， N0则表示未射入)，则N取1的概率的p= /4。在t内射入内的粒子数N2就是N1与N这两个随机变量串级而成的串级型随机变量。因为N2的数值恰是先实现N1而后令每个粒子去施行第二种随机试验(一共N1次)，再把各次的N值相加而成的。,由于N1遵守泊松分布， N又是伯努利型随机变量，因此，这个二级串级随机变量N2也遵守泊松分布，而且其平均值与方差为：,2019/1/13,南华大学核辐射探测学 授课人：屈老师,14,以及,然后，再来看N3，同样，把粒子射入探测器后产生或不产生输出信号脉冲看作是一种随机试验，相应的用N代表粒子射入探测器后产生的脉冲数。 N也是一个伯努利型随机变量(N1代表产生的输出脉冲， N0代表不产生输出脉冲)， N取“1”的概率就是。按同样的考虑可知， N3是N2与N相串级而成的串级型随机变量。既然已证明N2遵守泊松分布，而N又是伯努利型随机变量，所以N3也遵守泊松分布或高斯分布，其平均值与方差为：,2019/1/13,南华大学核辐射探测学 授课人：屈老师,15,以上应用串级型随机变量的概念及运算规则证明了，当辐射源在t内发射的粒子数遵守泊松分布时，探测器相应的输出脉冲数也遵守泊松分布，而且其平均值为平均粒子数与几何因子/4及探测效率之积。如果，放射源发射粒子不是各向均匀的，只要粒子落在内的概率是不变的(可能不等于/4而是某一常数f)，上述讨论与结论仍然成立，不过几何因子不再是/4而是f。,及,2019/1/13,南华大学核辐射探测学 授课人：屈老师,16,2. 脉冲计数的统计分布 假定在某一时间间隔内放射源衰变发射的N0个粒子全部入射到探测器上，探测器对入射粒子的探测效率为，即每个入射粒子引起的探测器计数的概率为，未引起计数的概率为（1 ），这相当于一个伯努利试验。这N0个入射粒子引起的计数为N，N也是一个随即变数，它服从的分布为,以上N所服从的分布形式与二项式分布相同，但进入探测器的粒子数N0不是一个常数，而是一个随机变数。假定N0服从泊松分布,其中M是入射粒子数N0的期望值。,2019/1/13,南华大学核辐射探测学 授课人：屈老师,17,进一步考察(6.22)式，被探测粒子数N服从二项式分布的条件是N0为一确定值，换句话说，在有N0个粒子入射的条件下，被探测的粒子数的条件概率服从二项式分布，将(6.22)式改写为 等式左边表示在N0确定下N出现的概率。,现在入射粒子数N0也是一个随机变数，根据全概率公式可以推出N的概率密度分布,令i=N0N，则,2019/1/13,南华大学核辐射探测学 授课人：屈老师,18,从上式可以看出,当入射到探测器的粒子数N0服从平均值为M的泊松分布时，引起的探测器的计数N服从平均值为M 的泊松分布，其方差2也为M。,同样，当N比较大时，即 ，上面的泊松分布可以简化为高斯分布：,2019/1/13,南华大学核辐射探测学 授课人：屈老师,19,式中， ，此时计数N的期望值与方差均为 。,当样品中有两种或两种以上放射性核素时，则探测器记录到的数目为这些核素分别引起的计数之和。在数理统计中正明了，具有泊松分布或高斯分布的几个独立的随机变数之和仍然服从泊松分布或高斯分布。根据这一定理，各组的计数是服从泊松分布时，总计数也必定服从泊松分布。,在实际应用中，不一定需要也不一定能够求出随机变数的概率密度或分布函数。有时需要知道表征分布的两个重要的数字特征即数学期望和方差就够了。,2019/1/13,南华大学核辐射探测学 授课人：屈老师,20,如果测得各种核素