d第二章一元函数微分学

第一节 导数的概念,一、引例 二、导数的定义 三、求导数举例 四、导数的几何意义 五、可导与连续的关系,1.自由落体运动的瞬时速度问题,如图,取极限得,一、引例,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,播放,如图,如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.,极限位置即,定义,二、导数的定义,其它形式,即,关于导数的说明：,注意:,步骤:,例1,解,三、求导数举例,例2,解,例3,解,更一般地,例如,例4,解,例5,解,几何意义,切线方程为,法线方程为,四、导数的几何意义,例6,解,由导数的几何意义, 得切线斜率为,所求切线方程为,法线方程为,定理 凡可导函数都是连续函数.,证,五、可导与连续的关系,连续函数不存在导数举例,例如,注意: 该定理的逆定理不成立.,例如,例如,2.右导数:,单侧导数,1.左导数:,例7,解,1. 导数的实质: 增量比的极限;,3. 导数的几何意义: 切线的斜率;,4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导;,5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数.,6. 判断可导性,不连续,一定不可导.,连续,直接用定义;,看左右导数是否存在且相等.,六、小结,第二节 求导法则,一、导数的四则运算法则 二、复合函数的求导法则 三、反函数求导法则 四、初等函数的导数,第三节 高阶导数,一、高阶导数的定义 二、高阶导数的求法,问题:变速直线运动的加速度.,定义,一、高阶导数的定义,记作,三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.,二阶导数的导数称为三阶导数,例1,解,由高阶导数的定义逐步求高阶导数.,二、 高阶导数的求法,例2,解,例3,解,注意:,求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明),第四节 隐函数及参数方程所 确定的函数的导数,一、隐函数求导法 二、由参数方程所确定的函数的求导法,定义:,隐函数的显化,问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?,隐函数求导法则:,用复合函数求导法则直接对方程两边求导.,一、隐函数求导法,例1,解,解得,例2,解,所求切线方程为,显然通过原点.,例如,消去参数,问题: 消参困难或无法消参如何求导?,三、由参数方程所确定的函数的导数,由复合函数及反函数的求导法则得,第五节 微分在近似计算中的应用,一、微分概念 二、微分的运算法则 三、微分在近似计算中的应用,引例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.,一、微分概念,再例如,既容易计算又是较好的近似值,问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?,定义,(微分的实质),微分的定义,由定义知:,定理,证,(1) 必要性,可微的条件,§39 曲 率,一、弧微分,二、曲率及其计算公式,三、曲率圆与曲率半径,有向弧段的值、,弧微分公式,曲率、,曲率的计算公式,曲率圆曲率半径,一、弧微分,s 的绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段的方向与曲线的 正向一致时s0，相反时s0,s0,s0,显然，弧 s 是 x 的函数：ss(x)，而且s(x)是x的单调增加函 数,设x ， x+ Dx 为(a，b)内两个邻近的点，它们在曲线 yf(x)上的对应点为M，M，并设对应于x的增量Dx ，弧 s 的增 量为Ds，于是,下面来求s(x)的导数及微分,1，,因为,因此,由于ss(x)是单调增加函数，从而,于是 ds ,这就是弧微分公式,观察曲线的弯曲线程度与切线的关系：,二、曲率及其计算公式,可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均 弯曲程度，,设曲线C是光滑的，曲线 线C上从点M 到点M 的弧 为Ds ，切线的转角为Da ,平均曲率：,曲率：,曲率的计算公式：,设曲线的直角坐标方程是yf(x)，且f(x)具有二阶导数,于是,从而，有,因为tan a y ，所以,例1 计算等双曲线x y 1在点(1，1)处的曲率,解,因此，y|x11，y|x12,曲线x y 1在点(1，1)处的曲率为,例2 抛物线yax2bxc 上哪一点处的曲率最大？,解 由yax2bxc，得 y2axb ，y2a ，,代入曲率公式，得,要使K 最大，只须2axb0，,抛物线的顶点因此，抛物线在顶点处的曲率最大，最大曲率为 K|2a| ,对应的点为,2若曲线由参数方程,给出，那么曲率如何计算？,1直线上任一点的曲率等于什么？,讨论：,提示：设直线方程为y=ax+b，则y =a， y = 0于是,提示：,曲线在点M处的曲率K(K 0)与曲线在点M处的曲率半径 r 有如下关系：,曲线在M点的曲率中心,三、曲率圆与曲率半径,M,y=f(x),D,r,曲线在M点的曲率半径,曲线在M点的曲率圆,例3 设工件表面的截线为抛物线y04x 2现在要用砂轮 磨削其内表面问用直径多大的砂轮才比较合适？,解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径,例3 设工件表面的截线为抛物线y04x 2现在要用砂轮 磨削其内表面问用直径多大的砂轮才比较合适？,y08x ，y08， y|x00，y|x008,抛物线顶点处的曲率半径为,所以选用砂轮的半径不得超过125单位长，即直径不得超过 250单位长,08,把它们代入曲率公式，得,(2) 充分性,例1,解,M,N,）,几何意义:(如图),求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.,1.基本初等函数的微分公式,二、微分的运算法则,2. 函数和、差、积、商的微分法则,例2,解,例3,解,结论：,微分形式的不变性,微分形式的不变性,例5,解,例4,解,例6,解,在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立.,例7,解,计算函数增量的近似值,三、微分在近似计算中的应用,例8,解,计算函数的近似值,常用近似公式,证明,例9,解,例3,解,所求切线方程为,例4,解,例4,解,同理可得,定理,和、差、积、商的求导法则,一、导数的四则运算法则,证(3),证(1)、(2)略.,推论,例1,解,例2,解,例3,解,同理可得,例4,解,同理可得,定理,即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则),二、复合函数的求导法则,证,推广,例5,解,例6,解,例7,解,例8,解,例9,解,定理,即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.,三、反函数的导数,证,于是有,例10,解,同理可得,例11,解,特别地,1.常数和基本初等函数的导数公式,四、初等函数的求导问题,2.函数的和、差、积、商的求导法则,3.复合函数的求导法则,利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决.,注意:初等函数的导数仍为初等函数.,例12,解,