同济大学第六版高数第3章课件1

第一节 中值定理,第三章 中值定理与导数的应用,预备知识,一、罗尔(Rolle)定理,(几何解释）,罗尔定理,若函数 f(x)满足,证：,证,即为方程的小于1的正实根.,矛盾,一个小于1 的正实根,例1 证明方程,有且仅有,注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立。,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,(几何解释),拉格朗日定理,若函数 f (x) 满足,拉格朗日中值公式,推论,若函数 f(x) 在闭区间a,b上连续,在(a,b)内,恒有,则函数 f(x) 在a,b上是一个常数.,故 f(x) 是一个常数, f(x) 在x1,x2连续，在(x1,x2)可导，,例2,证,例3,证:,由上式得, f(t) 在0,x连续，在(0,x)可导，,三、柯西(Cauchy)中值定理,柯西定理,如果函数 f (x)、F(x)满足,使等式 成立,（1）在闭区间a, b上连续,（2）在开区间(a, b)内可导,且在(a, b)内每一点处,均不为零，,则在(a, b)内至少有一点 ,分析:,证 设,罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；,Rolle 定理,Lagrange 中值定理,Cauchy 中值定理,注：,四：小结,几何解释： 一条连续曲线AB ，若除端点外，处处有不垂直于x 轴切线，则该曲线上至少有一点的切线平行于端点连线AB。,B,证,例6,证,分析:,结论可变形为,