42第二节 幂级数

第二节 幂级数,一、幂级数的概念,二、幂级数的敛散性,三、幂级数的运算和性质,四、典型例题,五、小结与思考,2,一、幂级数的概念,1.复变函数项级数,定义,其中各项在区域 D内有定义.表达式,称为复变函数项级数, 记作,3,称为这级数的部分和.,级数最前面n项的和,和函数,4,称为该级数在区域D上的和函数.,如果级数在D内处处收敛, 那末它的和一定,5,2. 幂级数,函数项级数的特殊情形,或,这种级数称为幂级数.,6,二、幂级数的敛散性,1.收敛定理,(阿贝尔Abel定理),阿贝尔介绍,7,证,由收敛的必要条件, 有,因而存在正数M,使对所有的n,8,而,由正项级数的比较判别法知:,收敛.,另一部分的证明请课后完成.,证毕,9,2. 收敛圆与收敛半径,对于一个幂级数, 其收敛半径的情况有三种:,(1) 对所有的复数都收敛.,由阿贝尔定理知:,级数在复平面内处处绝对收敛.,10,例如, 级数,对任意固定的z,从某个n开始,总有,于是有,故该级数对任意的z均收敛.,11,(2) 对所有的复数除 z=0 外都发散.,此时, 级数在复平面内除原点外处处发散.,例如,级数,通项不趋于零,如图:,故级数发散.,12,.,.,收敛圆,收敛半径,13,答案:,在收敛圆周上是收敛还是发散, 不能作出一般的结论, 要对具体级数进行具体分析.,注意,问题2: 幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?,14,例如, 级数:,收敛圆周上无收敛点;,在收敛圆周上处处收敛.,15,3. 收敛半径的求法,方法1: 比值法(定理二):,那末收敛半径,证,由于,收敛.,16,据阿贝尔定理,根据上节定理三,17,所以收敛半径为,证毕,即假设不成立 .,18,如果:,即,(极限不存在),即,19,答案,20,方法2: 根值法(定理三),那末收敛半径,说明:,(与比值法相同),如果,21,三、幂级数的运算和性质,1.幂级数的有理运算,22,2. 幂级数的代换(复合)运算,说明: 此代换运算常应用于将函数展开成幂级数.,23,3. 复变幂级数在收敛圆内的性质,24,简言之: 在收敛圆内, 幂级数的和函数解析;,幂级数可逐项求导, 逐项积分.,(常用于求和函数),即,25,四、典型例题,例1 求幂级数,的收敛范围与和函数.,解,级数的部分和为,26,级数,收敛,级数,发散.,且有,在此圆域内, 级数绝对收敛, 收敛半径为1,27,或,因为,28,所以收敛半径,所以原级数在收敛圆上是处处收敛的.,级数,29,说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点, 也有 级数的发散点.,原级数成为,交错级数,收敛.,发散.,原级数成为,调和级数，,(2),30,故收敛半径,解,31,解,所以,32,解,代数变形 , 使其分母中出现,凑出,33,级数收敛,且其和为,34,解,利用逐项积分,得:,所以,35,解,36,例8 计算,解,37,五、小结与思考,这节课我们学习了幂级数的概念和阿贝尔定理等内容，应掌握幂级数收敛半径的求法和幂级数的运算性质.,38,思考题,幂级数在收敛圆周上的敛散性如何断定?,39,数敛散性讨论.,思考题答案,放映结束，按Esc退出.,40,阿贝尔资料,Born: 5 Aug 1802 in Frindoe (near Stavanger), NorwayDied: 6 April 1829 in Froland, Norway,Niels Abel,