函数 基本初等函数

第2讲 函数、基本初等函数的图象与性质 1.函数的三要素：定义域、值域、对应关系 两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表 示同一个函数，定义域和对应关系相同的两个函 数是同一函数. 2.函数的图象 对于函数的图象要会作图、识图、用图. 作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是 图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变 换、对称变换.,3.函数的性质 （1）单调性 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变 量的值x1,x2,且x1f(x2)成立，则 f(x)在D上是减函数）. （2）奇偶性 对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称),都 有f(-x)=-f(x)成立,则f(x)为奇函数(都有f(-x) =f(x)成立，则f(x)为偶函数）. （3）周期性,周期函数f(x)的最小正周期T必须满足下列两个条 件： 当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x); T是不为零的最小正数. 一般地，若T为f（x）的周期，则nT（nZ）也为 f(x)的周期，即f(x)=f(x+nT). （4）最值 一般地，设函数y=f（x)的定义域为I,如果存在实 数M满足： 对于任意的xI,都有f(x)M(f(x)M)； 存在x0I,使f(x0)=M，那么称M是函数y=f(x)的 最大值（最小值）.,4.函数单调性的判定方法 （1）定义法：取值，作差，变形，定号，作答. 其中变形是关键，常用的方法有：通分、配方、 因式分解. （2）导数法. （3）复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则. 5.函数奇偶性的判定方法 (1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必 要条件. （2）对于定义域内的任意一个x， 若都有f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数. 若都有f(-x)=-f(x),则f(x)为奇函数.,若都有f(-x)-f(x）=0，则f(x)为偶函数. 若都有f(-x)+f(x)=0，则f(x)为奇函数. 6.指数函数与对数函数的图象和性质,一、函数的概念 例1 设a1,若仅有一个常数c使得对于任意的 xa，2a，都有ya，a2满足方程 logax+logay=c,这时a的取值的集合为 . 思维启迪 将方程问题转化成函数，同时注意定 义域和值域. 解析 logax+logay=c，logaxy=c （c0）. xy=ac, 由于仅有一个常数c,使xa，2a时，y a,a2满足方程.因此a,a2应是函数 在xa，2a时的值域（因为常数c只有一个，,从而函数的定义域确定时，值域也是确定的). ax2a，且a1， 探究提高 题目中的方程是一个不定方程，其实 质是一个函数（隐函数），求出这个函数的解析 式是解题的突破口，解题的关键是理解“对于任 意的xa，2a，都有ya，a2”指的是 “函数 在a，2a上的值域是a，a2的子 集”，然后利用不等式理论及题意，求出常数a.,答案 2,变式训练1 （2009·山东理，10）定义在R上的 函数f(x)满足 则f(2 009) 的值为 （ ） A.-1 B.0 C.1 D.2 解析 当x0时，因为f(x)=f(x-1)-f(x-2), f(x+1)=f(x)-f(x-1). f(x+1)=-f(x-2),即f(x+3)=-f(x). f(x+6)=f(x).即当x0时，函数f(x)的周期是6. 又f(2 009)=f(334×6+5)=f(5), 由已知得f(-1)=log22=1，f(0)=0,f(1)=f(0)- f(-1)=-1,f(2)=f(1)-f(0)=-1,f(3)=f(2)-f(1)=-1- (-1)=0,f(4)=f(3)-f(2)=0-(-1)=1,f(5)=f(4)-f(3)=1.,C,二、函数的性质 例2 设kR，函数 F（x）=f（x）-kx，xR.试讨论函数F（x）的单 调性. 思维启迪 本题可以分k=0，k0,k0中x1,k0中x1,k0中 x1,需用导数法判断. 解,对于 当k0时,函数F(x)在(-,1)上是增函数; 当k0时,函数F(x)在 上是减函数,在 上是增函数. 对于F(x)=- -kx (x1), 当k0时,函数F(x)在(1,+)上是减函数; 当k0时,函数F(x)在 上是减函数，在,探究提高 （1）判断函数的单调性的一般思路： 对于选择、填空题若能画出图象一般用数形结合 法；而对于由基本初等函数通过加、减运算或复 合而成的函数常转化为基本初等函数单调性的判 断问题；对于解析式较复杂的用导数法或定义法. （2）对于函数的奇偶性的判断，首先要看函数的 定义域是否关于原点对称，其次再看f（-x）与 f(x)的关系. （3）求函数最值常用的方法有单调性法、图象 法、基本不等式法、导数法和换元法.,变式训练2 已知函数 (x0,常数 aR). （1）讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由； （2）若函数f(x)在x2，+）上为增函数，求 a的取值范围. 解 （1）方法一 定义域x|x0,xR. 故定义域关于原点对称. 若f(x)= 是奇函数， 则f(-x)=-f(x)恒成立，即 恒成立. x2=0恒成立.x0,x2=0不恒成立， f（x）不是奇函数.,若 是偶函数， 则f(-x)=f(x)恒成立， 即 xR, 且x0,要使 恒成立，故a=0, 结合知当a=0时， 是偶函数. 当a0时，f(x)是非奇非偶函数. 方法二 a=0时，f(x)=x2(x0),f(-x)=f(x), 故a=0时，f(x)是偶函数. a0时，f(1)=1+a,f(-1)=1-a, 1+a1-a=f(-1),1+a-(1-a)=-f(-1), 即f(1)-f(-1),f(1)f(-1),f（x）是非奇非偶函数. 结合知当a=0时，f(x)是偶函数, 当a0时，f(x)是非奇非偶函数. （2）方法一 设2x14,x1+x24, x1x2(x1+x2)-a0恒成立. 即a16,只需a16即可，a的取值范围是（-，16. 方法二 要使f(x)在2，+）上是增函数， 则f(x)0在x2，+）时恒成立. 即 2x3-a0,a2x3恒成立. a(2x3)min,x2，+），2x3是增函数， （2x3）min=16，a16. 方法三 令f (x)0，则 即f(x)的递增区间为 要使f(x)在2,+)上是增函数，则,三、函数的图象及其应用 例3 设函数 若f(-4)= f(0),f(-2)=-2,求关于x的方程f(x)=x的解的个数. 思维启迪 由两个已知条件求出b,c，再利用函数 图象或解方程求解. 解 方法一 由f(-4)=f(0),f(-2)=-2,方程f(x)=x等价于,即x=2,或 x=2,或x=-1,或x=-2,即f(x)=x有3个解. 方法二 由f(-4)=f(0),f(-2)=-2,可得b=4,c=2. 图象如图所示. 方程f(x)=x解的个数即y=f(x) 与y=x图象的交点个数. 由图知两图象有A、B、C三 个交点,故方程有3个解.,探究提高 函数的图象从直观上很好地反映出了 函数的性质，所以在研究函数时，注意结合图 象，在解方程和不等式等问题时，借助图象能起 到十分快捷的作用，但要注意，利用图象求交点 个数或解的个数问题时，作图要十分准确，否则 容易出错. 变式训练3 已知 则下列函数 的图象错误的是 （ ）,解析 函数f(x)= 的图象如图所示. 函数f(x-1)的图象只需将y=f(x)的图象向右平移一 个单位，故A正确； 函数f(-x)的图象只需将y=f(x)的图象关于y轴对 称，故B正确； 函数f(|x|)的图象只需将y=f(x)的图象y轴右侧图象 不变，左侧部分图象与右侧部分关于y轴对称，故 C正确； 由于函数 恒大于零，故|f(x)| 的图象与y=f(x)的图象相同，故D项错误.,答案 D,四、基本初等函数问题 例4 已知函数 若f(x0)2, 则x0的取值范围是 . 思维启迪 本题可以分x00和x00两种情况讨 论，分别得到简单的指数、对数不等式，再根据 幂和对数运算性质转化为同底数幂值、对数值比 较大小，最后用指数、对数函数单调性求解. 解析 当x00时，f(x0)2化为,当x00时，f(x0)2化为log2(x0+2)2, 即log2(x0+2)log2 4,x0+24,x02, x0的取值范围是（-，-12，+）. 答案 探究提高 (1)熟练掌握基本初等函数的图象和性 质是解决此类题目的关键. （2）要注意化归和分类讨论的思想在这些题目中 的应用.,（-,-12,+),变式训练4 已知周期为2的函数f(x)是奇函数，当 x（-1，0）时，f(x)=-2-x，则 的值为 . 解析 (-6,-5),设-6x-5, 则0x+61,-1-(x+6)0. f（x）的周期为2,f(x+6)=f(x). 又f（x）为奇函数， f-(x+6)=-f(x+6). 当x(-6,-5)时，f(x)=f(x+6) =-f-(x+6)=2x+6.,例5 设二次函数f(x)=x2+ax+a,方程f(x)-x=0的两根 x1和x2满足0x1x21, （1）求实数a的取值范围； （2）试比较f(0)f(1)-f(0)与 的大小,并说明理由. 思维启迪 （1）从二次方程根的分布去考虑，运 用数形结合的思想去解决. （2）先计算f(0)f(1)-f(0)=2a2,实质上是比较大小 问题. 解 （1）令F(x)=f(x)-x =x2+(a-1)x+a, 如图所示，要使F(x)的两个零点 x1,x2(0,1),且x1x2,解得 故所求a的取值范围是 (2)f(0)f(1)-f(0)=f(0)f(1)-1 =a(1+2a-1)=2a2, f(0)f(1)-f(0),探究提高 处理二次方程根的分布问题，要注意数形结合，函数与方程等思想方法的运用，具体求解时一般考虑判别式、对称轴位置、函数在端点的符号、列出不等式（组）求解即可，对于大小比较问题，一般用比较法或函数的单调性进行.,变式训练5 设函数f(x)=x2+2bx+c (cb1)， f(1)=0且方程f(x)+1=0有实根. （1）证明：-3c-1; （2）证明：b0； （3）若x0是方程f(x)+1=0的一个实根，判断f(x0-4) 的正负，并加以证明. 证明 (1) 方程f(x)+1=0，即x2+2bx+c+1=0有实根， =4b2-4(c+1)0，即(c+1)2-4(c+1)0. c-1或c3.-3c-1.,（2）由（1）知c-1,c+10, （3）f(x)=x2+2bx+c=x2-(c+1)x+c=(x-c)(x-1). x0是方程f(x)+1=0的根， f(x0)+1=0,f(x0)=-10. 故f(x0-4)为正值.,规律方法总结 函数是反映客观世界中两个变量的依存关系的数学模型. 1.定义域、值域和对应法则是决定函数的三个要素，是一个整体，研究函数问题时务必要“定义域优先”. 2.单调性是函数的一个局部性质，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性. 函数的单调性使得自变量的不等关系和函数之间的不等关系可以“正逆互推”. 判定函数的单调性常用定义法、图象法及导数法.对于选择题和填空题，也可用一些命题，如两个增（减）函数的和函数仍为增（减）函数.,3.函数的奇