高考试题）新人教a版36

镇成立由镇委书记孙广东任组长，镇委副书记、镇长任副组长，镇直相关部门主要领导为成员的意识形态工作领导小组，统筹协调全镇意识形态工作考点16 正弦定理和余弦定理一、选择题1. (2015·广东高考文科·T5)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=23,cosA=32,且b<c,则b=()A.3 B.2 C.22 D.3【解题指南】直接利用a2=b2+c2-2bccosA即可求得b的值.【解析】选B由余弦定理得：，所以，即，解得：或，因为，所以二、填空题2. (2015·广东高考理科·T11)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a =3,sinB=12,C=6,则b =.【解题指南】可先求出角B的大小,再利用正弦定理求解.【解析】因为且，所以或，又，所以，又，由正弦定理得即解得.答案:13. (2015·北京高考理科·T12)在ABC中,a=4,b=5,c=6,则=.【解题指南】利用二倍角公式展开sin2A,再利用正、余弦定理角化边.【解析】=.答案:14 .(2015·天津高考理科·T13)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知ABC的面积为315,b-c=2,cosA=-14,则a的值为.【解析】因为0<A<,所以，又，解方程组得，由余弦定理得所以a=8.答案:85.(2015·福建高考理科·T12)若锐角ABC的面积为103,且AB=5,AC=8,则BC等于.【解题指南】利用三角形面积公式及余弦定理求解.【解析】S=12×5×8sinA=103sinA=32,因为A为锐角,所以A=60°,所以,所以BC=7.答案:76.(2015·福建高考文科·T14)若ABC中,AC=3,A=45°,C=75°,则BC=.【解题指南】利用正弦定理解答此题.【解析】因为A=45°,C=75°,所以B=60°,由正弦定理可知答案:27. (2015·北京高考文科·T11)在ABC中,a=3,b=,A= ,则B=.【解题指南】利用正弦定理求解,注意角B的范围.【解析】由正弦定理得,所以.因为B(0, ),所以B= .答案: 8（2015·安徽高考文科·T12）在中，则 。【解题指南】根据正弦定理解三角形。【解析】由正弦定理可知：答案：2三、解答题9.(2015·浙江高考文科·T16)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知tan(4+A)=2.(1)求sin2Asin2A+cos2A的值.(2)若B=4,a=3,求ABC的面积.【解题指南】(1)利用两角和与差的正切公式,得到tan A的值,利用同角三角函数基本关系式得到结论;(2)利用正弦定理得到边b的值,根据三角形,两边一夹角的面积公式计算得到三角形的面积.【解析】(1)由tan(4+A)=2得tan A=13,所以.(2) 由可得，由正弦定理知，又，所以.10.(2015·浙江高考理科·T16)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=4,b2-a2=12c2.(1)求tan C的值.(2)若ABC的面积为3,求b的值.【解题指南】(1)根据正弦定理可将条件中的边之间的关系转化为角之间的关系,再将式子作三角恒等变形即可求解;(2)根据条件首先求得sin B的值,再结合正弦定理以及三角形面积的计算公式即可求解.【解析】（1）由=及正弦定理得，即，所以又因为，所以，所以即，所以（2）由，得又因为由正弦定理得因为，所以，所以.11. （2015·安徽高考理科·T16）.在中，,点D在边上，求的长。【解题指南】根据余弦定理解三角形。【解析】设AD=x,由余弦定理得：=90，所以BC=，在中，设，则，设AD=x,则BD=x,DC=-x,由余弦定理得：，即 (1),即 （2）由（1）（2）解得,即。12.（2015·四川高考文科·T19).已知为的内角，是关于的方程的两实根.（1）求的大小；（2）若，求的值.【解题指南】（1）将三角函数与韦达定理结合，利用正切函数和角公式。（2）利用正弦定理和正切函数和角公式。本题将三角函数与韦达定理结合，考查正切函数和差角公式、解三角形基础知识的运用.题目较简单，难度与题型与全国卷相似，体现对考生基础知识的运用能力，运算求解能力，较易拿分.【解析】（1） 是关于的方程的两个根可得：，所以，则，由三角形内角和为可知，.（2）在中，由正弦定理可得，求得，则.又，由三角形内角和为及诱导公式可知，解得，将代入，解得.13.(2015·四川高考理科·T19)如图,A,B,C,D为平面四边形ABCD的四个内角.(1)证明:.(2)若A+C=180°,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求的值.【解题指南】(1)利用二倍角公式,分子分母同时展开.(2)利用(1)的结果,再结合余弦定理求解.【解析】(1)右边=左边,故原式成立.(2)由(1)知, 又A+C=180°,所以B+D=180°,所以sinA=sinC,cosC=-cosA,sinD=sinB,cosD=-cosB,所以,原式=在三角形DAB中,BD2=AB2+AD2-2AB·ADcosDAB=36+25-2×6×5cosDAB=61-60cosDAB,在三角形BCD中,BD2=BC2+CD2-2BC·DCcosBCD=9+16-2×3×4cosBCD所以,61-60cosDAB=25+24cosDAB同理所以,原式=.14.(2015·新课标全国卷文科·T18)(12分)已知a,b,c分别是ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sin Asin C.(1)若a=b,求cos B.(2)若B=90°,且a=2,求ABC的面积.【解题指南】(1)根据正弦定理将sin2B=2sin Asin C变为b2=2ac,再利用余弦定理求出cos B.(2)利用勾股定理及b2=2ac求出c,然后确定ABC的面积.【解析】(1)因为sin2B=2sin Asin C,由正弦定理得b2=2ac,因为a=b,所以a=2c.由余弦定理得.（2）因为，所以，又，所以，即，所以15.(2015·新课标全国卷理科·T17)(12分)ABC中,D是BC上的点,AD平分BAC,ABD是ADC面积的2倍.(1)求sinBsinC.(2)若AD=1,DC=22,求BD和AC的长.【解题指南】(1)由正弦定理确定sinBsinC.(2)由余弦定理求BD和AC的长.【解析】(1)SABD=12AB·ADsinBAD,SADC=12AC·ADsinCAD,因为SABD=2SADC,BAD=CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得sinBsinC=ACAB=12.(2)因为SABDSADC=BDDC,所以BD=2.在ABD和ADC中,由余弦定理知,AB2=AD2+BD2-2AD·BDcosADB,AC2=AD2+DC2-2AD·DCcosADC,故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.16.(2015·新课标全国卷文科·T17)ABC中D是BC边上的点,AD平分BAC,BD=2DC.(1)求sinBsinC.(2)若BAC=60°,求B.【解题指南】(1)由正弦定理求解sinBsinC.(2)结合sinBsinC,求出sin C,从而确定B的值.【解析】(1)由正弦定理得ADsinB=,ADsinC=,因为AD平分BAC,BD=2DC,所以sinBsinC=DCBD=12.(2)因为C=180°-(BAC+B),BAC=60°,所以sin C=sin(BAC+B)=32cos B+12sin B.由(1)知2sin B=sin C,所以tan B=33,B=30°.17. (2015·江苏高考·T15)在ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60°.(1)求BC的长.(2)求sin2C的值.【解题指南】(1)利用余弦定理可求得BC的长.(2)先利用正弦定理求出sinC的值,再利用余弦定理求出cosC的值,最后由二倍角的正弦公式即可求得sin2C的值.【解析】(1)在ABC中,由余弦定理可知,BC2= AC2+ AB2-2AC·AB·cosA,即BC2=32+22-2×3×2×cos60°,解得BC=7.(2)由正弦定理可知, ,即,解得sinC=;由余弦定理可得,cosC=.所以sin2C=2sinCcosC=.18.(2015·山东高考理科·T16)(本小题满分12分)设(1)求f(x)的单调区间.(2)在锐角ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若,a=1,求ABC面积的最大值.【解题指南】先将函数f(x)化简成一个角的一个三角函数,再结合面积公式和基本不等式求解.【解析】(1) .令，得；令，得.所以f(x)的单调递增区间为，单减区间为. (2) 因为，且为锐角三角形，所以.由，得，所以，所以.即面积的最大值为.19.(2015·山东高考文科·T17)(本小题满分12分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知.求sin A和c的值.【解题指南】先判断A+B,再将其看作一个整体,利用两角和与差的三角公式,结合正弦定理求解.【解析】在ABC中, ，则.因为，所以为钝角，所以.即.因为，由正弦定理，得，所以.20. (2015·陕西高考理科·T17)(本小题满分12分)C的内角,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,3b)与n=(cos,sin)平行.(1)求.(2)若a=7,b=2,求C的面积.【解题指南】(1)先利用mn得asinB-3bcosA=0,再利用正弦定理转化求得tanA的值从而得A的值.(2)利用余弦定理得边c的值,代入三角形的面积公式求解.【解析】(1)因为mn,所以asinB-3bcosA=0,由正弦定理得sinAsinB-3sinBcosA=0,又sinB0,从而tanA=3,由于0<A<,所以A=3.(2)由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,而a=7,b=2,A=3,得7=4+c2-2c,即c2-2c-3=0,因为c>0,所以c=3.故ABC的面积为12bcsinA=332.21. (2015·陕西高考文科·T17)(本小题满分12分)C的内角,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,3b)与n=(cos,sin)平行.(1)求.(2)若a=7,b=2求C的面积.【解题指南】(1)先利用mn得出asinB-3bcosA=0,再利用正弦定理转化求得tanA的值从而得A的值.(2)利用余弦定理得边c的值,代入三角形的面积公式求解.【解析】(1)因为mn,所以asinB-3bcosA=0,由正弦定理得sinAsinB-3sin