高考试题）新人教a 版30

镇成立由镇委书记孙广东任组长，镇委副书记、镇长任副组长，镇直相关部门主要领导为成员的意识形态工作领导小组，统筹协调全镇意识形态工作考点33 直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题1.(2015·浙江高考文科·T7)如图,斜线段AB与平面所成的角为60°,B为斜足,平面上的动点P满足PAB=30°,则点P的轨迹是()A.直线B.抛物线 C.椭圆D.双曲线的一支【解题指南】依据线面的位置关系与圆锥曲线的定义判断.【解析】选C.由题可知,当P点运动时,在空间中满足条件的AP绕AB旋转形成一个圆锥,用一个与圆锥高成60°角的平面截圆锥,所得图形为椭圆.二、解答题2（2015·四川高考文科·T18)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.（I）请将字母标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）（II）判断平面与平面的位置关系，并证明你的结论（III）证明：平面【解题指南】(1)通过立体图形的展开与折叠解题（2）利用线线平行证明线面平行（3）构造等腰三角形，找出高垂直于底边这一层垂直关系；利用三角形中位线找出一组平行关系；利用平行垂直关系；利用线面垂直的判定【解析】（I）如图(1)由展开图可知，在的上方，如图（II）连接，如上图因为四边形和四边形为平行四边形，所以，又因为平面，且平面所以平面，平面又因为平面，且所以平面平面（III）连接，交点坐标如下图，取中点分别为，连接因为分别为中点所以设正方体棱长为，则所以三角形为等腰三角形，所以那么又因为平面，且所以平面。ABCEFO3.(2015·北京高考理科·T17)(14分)如图,在四棱锥A-EFCB中,AEF为等边三角形,平面AEF平面EFCB,EFBC,BC=4,EF=2a,EBC=FCB=60°,O为EF的中点.(1)求证:AOBE.(2)求二面角F-AE-B的余弦值.(3)若BE平面AOC,求a的值.【解题指南】(1)要证AOEB,只需证明AO平面EBCF.(2)建立空间直角坐标系,利用向量法求二面角余弦值.(3)将BE平面AOC转化为BEOC,再利用数量积为0,解出a.【解析】(1)因为AEF是等边三角形,O为EF的中点,所以AOEF.又因为平面AEF平面EFCB,交线EF,AO平面AEF,所以AO平面EBCF.因为BE平面EBCF,所以AOBE.ABCxFOyzE(2)取BC的中点D,连接OD.如图分别以OE,OD,OA为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则 ， ， ，设平面ABE的法向量n1=(x,y,z),则 ，令 得 ，所以 。平面AEF的法向量 。所以 。因为二面角F-AE-B为钝二面角，所以余弦值为 。（3）由（1）知 。因为 ，所以 。要使平面AOC，只需 。因为 ， ，所以 ，即 ，解得（舍） 或 。4. (2015·北京高考文科·T18)(14分)如图,在三棱锥V-ABC中,平面VAB平面ABC,VAB为等边三角形,ACBC且AC=BC=2,O,M分别为AB,VA的中点.(1)求证:VB平面MOC.(2)求证:平面MOC平面VAB.(3)求三棱锥V-ABC的体积.ABCOMV【解题指南】(1)只需证明MOVB.(2)只需证明OC平面VAB.(3)变换顶点,把C看作顶点,CO看作是高.【解析】(1)因为O,M分别为AB,VA的中点,所以OMVB.又因为OM平面MOC,VB平面MOC,所以VB平面MOC.(2)因为AC=BC,O为AB中点,所以OCAB.因为平面VAB平面ABC,交线AB,OC平面ABC,所以OC平面VAB.因为OC平面MOC,所以平面MOC平面VAB.(3)由(2)知OC为三棱锥C-VAB的高,因为ACBC且AC=BC=2,所以OC=1,AB=2.因为VAB为等边三角形,所以SVAB=×2×=.。5.(2015·广东高考理科·T18)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.点E是CD边的中点,点F,G分别在线段AB,BC上,且AF=2FB,CG=2GB.(1)证明:PEFG.(2)求二面角P-AD-C的正切值.(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值.【解题指南】(1)可先证线面垂直,PE平面ABCD,进而得到线线垂直.(2)可以找出二面角的平面角,然后再求解.(3)利用等角定理将两条异面直线所成角问题转化到一个三角形中去解决.【解析】（1）证明：因为 且点为的中点，所以 ，又平面平面，且平面平面，平面，所以 平面，又平面，所以；PABCDEFG（2）因为是矩形，所以，又平面平面，且平面平面，平面，所以平面，又、平面，所以，所以即为二面角的平面角，在中，所以即二面角的正切值为；（3）如下图所示，连接，因为，即，所以，所以为直线与直线所成角或其补角，在中，PABCDEFG由余弦定理可得，所以直线与直线所成角的余弦值为6. (2015·广东高考文科·T18)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.(1)证明:BC平面PDA.(2)证明:BCPD.(3)求点C到平面PDA的距离.【解题指南】(1)由四边形CD是长方形可证CD,进而可证C平面D.(2)先证CCD,再证C平面DC,进而可证CD.(3)取CD的中点,连接和,先证平面CD,再设点C到平面D的距离为h,利用V三棱锥C-D=V三棱锥-CD可得h的值,即得点C到平面D的距离.【解析】(1)因为四边形CD是长方形,所以CD,因为C平面D,D平面D,所以C平面D.(2)因为四边形CD是长方形,所以CCD,因为平面DC平面CD,平面DC平面CD=CD,C平面CD,所以C平面DC,因为D平面DC,所以CD.(3)取CD的中点,连接和,因为D=C,所以CD,在RtD中, ,因为平面DC平面CD,平面DC平面CD=CD,平面DC,所以平面CD,由(2)知:C平面DC,由(1)知:CD,所以D平面DC,因为D平面DC,所以DD,设点C到平面D的距离为h,因为V三棱锥C-D=V三棱锥-CD,所以13SD·h=13SCD·,即,所以点C到平面D的距离是.7. （2015·安徽高考文科·T19）如图，三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，.(1)求三棱锥P-ABC的体积；(2)证明：在线段PC上存在点M，使得ACBM，并求的值。【解题指南】根据三棱锥的体积公式和线面垂直关系及平行线段成比例进行解答。【解析】（1）由题意可得，由PA平面ABC ，可知PA是三棱锥P-ABC的高，又PA=1，所以所求三棱锥的体积为.(2)在平面ABC内，过点B作BNAC,，垂足为N，在平面PAC内，过嗲按N作MN/PA交PC于点M，连接BM，由PA平面ABC知PAAC,所以，MNAC,由于,所以AC平面MBN，又平面MBN，所以ACBM,在直角三角形BAN中，AN=,所以NC=AC-AN=，由MN/PA，得=,8. (2015·浙江高考理科·T17)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中, BAC=90°,AB=AC=2,A1A=4,A1在底面ABC的射影为BC的中点,D为B1C1的中点.(1)证明:A1D平面A1BC.(2)求二面角A1-BD-B1的平面角的余弦值.【解析】(1)取BC的中点E,连接A1E,AE,DE,由题意得A1E平面ABC,所以A1EAE,因为AB=AC,所以AEBC,故AE平面A1BC,由D,E分别是B1C1,BC的中点,得DEB1B且DE=B1B,所以DEA1A,所以四边形A1AED是平行四边形,故A1DAE,又因为AE平面A1BC,所以A1D平面A1BC.(2)作A1FBD,且A1FBD=F,连接B1F.由AE=BE=2,A1EA=A1EB=90°,得A1B=A1A=4,由A1D=B1D,A1B=B1B,得A1DBB1DB,由A1FBD,得B1FBD,因此A1FB1为二面角A1-BD-B1的平面角,由A1D=2,A1B=4,DA1B=90°,得BD=32,A1F=B1F=43,由余弦定理得 .9.(2015·浙江高考文科·T18)如图,在三棱锥ABC-A1B1C1中,BAC=90°,AB=AC=2,AA1=4,A1在底面ABC的射影为BC的中点,D为B1C1的中点.(1)证明:A1D平面A1BC.(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值.【解析】(1)取BC的中点E,连接A1E,DE,AE,由题意得A1E平面ABC,所以A1EAE,因为AB=AC,所以AEBC,故AE平面A1BC,由D,E分别是B1C1,BC的中点,得DEB1B且DE=B1B,所以DEA1A,所以四边形A1AED是平行四边形,故A1DAE,又因为AE平面A1BC,所以A1D平面A1BC.(2)作A1FDE,垂足为F,连接BF.因为平面，所以.因为，所以平面.所以平面.所以为直线与平面所成角的平面角.由，得.由平面，得.由，得.所以.10.(2015·四川高考理科·T18)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.在正方体中,设BC的中点为M,GH的中点为N.(1)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由).(2)证明:直线MN平面BDH.(3)求二面角A-EG-M的余弦值.【解题指南】(1)通过立体图形的展开与折叠解题.(2)利用线线平行证明线面平行.(3)利用二面角的平面角的定义,作出二面角的平面角来,利用解三角形求解.【解析】(1)由展开图可知,F在B的上方,G在C的上方,H在D的上方,如图(2)取BD中点O,连接MO,HO,则MOCD,且MO=CD,所以MOHN,且MO=HN,所以四边形MNHO为平行四边形,所以MNHO,因为HO平面BHD,MN平面BHD,所以MN平面BHD.(3)连接AC,EG,过M作MKAC,垂足在AC上,过点K作平面ABCD的垂线,交EG于点L,连接ML,则MLK就是二面角A-EG-M的平面角.因为MK平面ABCD,且AE平面ABCD,所以MKAE.又AE,AC平面AEG,所以MK平面AEG.且KL平面AEG,所以MKKL,所以三角形MKL为直角三角形,设正方体的棱长为a,则AB=BC=KL=a,所以MC=,因为MCK=45°,三角形MCK为直角