高考数学一轮复习 第五章 数列 第三节 等比数列学案 文

镇成立由镇委书记孙广东任组长，镇委副书记、镇长任副组长，镇直相关部门主要领导为成员的意识形态工作领导小组，统筹协调全镇意识形态工作 1.理解等比数列的概念2掌握等比数列的通项公式与前n项和公式3能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题4了解等比数列与指数函数的关系知识点一等比数列的有关概念 1等比数列的定义如果一个数列从第_项起，每一项与它的前一项的比等于_非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的_，公比通常用字母q(q0)表示数学语言表达式：_(n2)，q为常数2等比中项如果_成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项即：G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列_.答案12同一个公比q2a，G，bG2ab1将公比为q的等比数列a1，a2，a3，a4依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，.此数列是()A公比为q的等比数列B公比为q2的等比数列C公比为q3的等比数列 D不一定是等比数列答案：B2对任意等比数列an，下列说法一定正确的是()Aa1，a3，a9成等比数列 Ba2，a3，a6成等比数列Ca2，a4，a8成等比数列 Da3，a6，a9成等比数列解析：根据等比数列的性质，若mn2k(m，n，kN*)，则am，ak，an成等比数列，故选D.答案：D知识点二等比数列的通项公式及前n项和公式 1若等比数列an的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an_；若等比数列an的第m项为am，公比是q，则其第n项an可以表示为an_.2等比数列的前n项和公式：当q1时，Snna1；当q1时，Sn_.答案1a1qn1amqnm2.3在等比数列an中，已知a11，a464，则q_，S4_.答案：4514(必修P62习题2.5B组第2题改编)设等比数列an的前n项和为Sn，若，则_.解析：S3，S6S3，S9S6成等比数列，则(S6S3)2S3·(S9S6)，由知S6S3，则SS3·(S9S6)，所以S9S3，所以.答案：热点一等比数列的基本量计算 【例1】(1)(2016·新课标全国卷)设等比数列an满足a1a310，a2a45，则a1a2an的最大值为_(2)(2017·石家庄模拟)设an是公比大于1的等比数列，Sn为数列an的前n项和已知S37，且a13,3a2，a34构成等差数列，则an_.【解析】(1)设an的公比为q，由a1a310，a2a45得a18，q，则a24，a32，a41，a5，所以a1a2ana1a2a3a464.(2)由已知得：解得a22.设数列an的公比为q，由a22，可得a1，a32q.又S37，可知22q7.即2q25q20.解得q12，q2.由题意知q>1，所以q2，所以a11.故数列an的通项为an2n1.【答案】(1)64(2)2n1【总结反思】等比数列运算的思想方法(1)方程思想：设出首项a1和公比q，然后将通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求结果都用a1，q表示，寻求两者联系，整体代换即可求(3)利用性质：运用等比数列性质，可以化繁为简、优化解题过程.(1)在正项等比数列an中，an1<an，a2·a86，a4a65，则等于_；(2)已知等比数列an的前n项和为Sn, 且a1a3，a2a4，则_.解析：(1)设公比为q，则由an1<an，知0<q<1，由a2·a86，得a6.a5，a4a6q5，解得q，而2.(2)由除以可得2，解得q，代入得a12.an2×n1，Sn4，2n1.答案：(1)(2)2n1热点二 等比数列的判定与证明 【例2】(2016·新课标全国卷)已知数列an的前n项和Sn1an，其中0.()证明an是等比数列，并求其通项公式；()若S5，求.【解】()由题意得a1S11a1，故1，a1，a10.由Sn1an，Sn11an1得an1an1an，即an1(1)an.由a10，0且1得an0.所以.因此an是首项为，公比为的等比数列，于是an()n1.()由()得Sn1()n.由S5得1()5，即()5.解得1.【总结反思】(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可(2)利用递推关系时要注意对n1时的情况进行验证.已知数列an满足a11，a22，an2，nN.(1)令bnan1an，证明：bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式解：(1)证明：b1a2a11.当n2时，bnan1anan(anan1)bn1，bn是以1为首项，为公比的等比数列(2)由(1)知bnan1ann1，当n2时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)11n211n1.当n1时，×111a1，ann1(nN)热点三 等比数列的性质及应用 【例3】(1)已知等比数列an满足a1，a3a54(a41)，则a2()A2 B1C. D.(2)(必修P77复习参考题B组第1(2)题改编)若某等比数列的前n项和、前2n项和、前3n项和分别是A，B，C，则()A(AB)CB2 BA2B2A(BC)CABC DB2AC(3)已知等比数列an中，a4a82，则a6(a22a6a10)的值为()A4 B6C8 D9【解析】(1)法1：a3a5a，a3a54(a41)，a4(a41)，a4a440，a42.又q38，q2.a2a1q×2，故选C.法2：a3a54(a41)，a1q2·a1q44(a1q31)将a1代入上式并整理，得q616q3640，解得q2.a2a1q，故选C.(2)在等比数列中，Sn，S2nSn，S3nS2n也成等比数列，即A，BA，CB也成等比数列，即(BA)2A(CB)，所以A22ABB2ACAB，即A2B2A(BC), 故选B.(3)a6(a22a6a10)a6a22aa6a10a2a4a8a(a4a8)2，a4a82，a6(a22a6a10)4.【答案】(1)C(2)B(3)A【总结反思】(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若mnpq，则am·anap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形，此外，解题时注意设而不求思想的运用.(1)(2017·石家庄模拟)在等比数列an中，若a7a8a9a10，a8a9，则_.(2)已知数列an是等比数列，a22，a5，则a1a2a3a2a3a4anan1an2_.(3)已知各项都是正数的等比数列an，Sn为其前n项和，且S1010，S3070，那么S40()A150 B200C150或200 D400或50解析：(1)因为，由等比数列的性质知a7a10a8a9，所以÷.(2)设数列an的公比为q，则q3，解得q，a14.易知数列anan1an2是首项为a1a2a34×2×18，公比为q3的等比数列，所以a1a2a3a2a3a4anan1an2(123n)(3)依题意，数列S10，S20S10，S30S20，S40S30成等比数列，因此有(S20S10)2S10(S30S20)，即(S2010)210(70S20)，故S2020或S2030；又S20>0，因此，S2030，S20S1020，S407080150.答案：(1)(2)(123n)(3)A1特别注意q1时，Snnan这一特殊情况2由an1qan，q0，并不能立即断言an为等比数列，还要验证a10.3在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q1与q1分类讨论，防止因忽略q1这一特殊情形而导致解题失误4判断数列为等比数列的方法(1)定义法：q(q是不等于0的常数，nN*)数列an是等比数列；也可用q(q是不等于0的常数，nN*，n2)数列an是等比数列二者的本质是相同的，其区别只是n的初始值不同(2)等比中项法：aanan2(anan1an20，nN*)数列an是等比数列按照属地管理，分级负责和谁主管谁负责的原则，各级党组织领导班子对本地区、本单位、本部门意识形态工作负主体责任。党组织书记是第一责任人