高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第十节 变化率与导数、导数的计算学案 文

镇成立由镇委书记孙广东任组长，镇委副书记、镇长任副组长，镇直相关部门主要领导为成员的意识形态工作领导小组，统筹协调全镇意识形态工作1.了解导数概念的实际背景2通过函数图象直观理解导数的几何意义3能根据导数定义求函数yC(C为常数)，yx，yx2，yx3，y，y的导数4能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数的求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如f(axb)的复合函数)的导数知识点一 导数的概念 1函数yf(x)在xx0处的导数称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率_为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0) _.2导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点_处的_(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为_3函数f(x)的导函数称函数f(x)_为f(x)的导函数答案1. 2P(x0，y0)切线的斜率yy0f(x0)(xx0)3. 1函数f(x)x2在区间1,2上的平均变化率为_，在x2处的导数为_解析：函数f(x)x2在区间1,2上的平均变化率为3，在x2处的导数为f(2)2×24.答案：342某质点的位移函数是s(t)2t3gt2(g10 m/s2)，则当t2 s时，它的加速度是()A14 m/s2 B4 m/s2C10 m/s2 D4 m/s2解析：由v(t)s(t)6t2gt，a(t)v(t)12tg，得t2时，a(2)v(2)12×21014(m/s2)答案：A3(2016·新课标全国卷)已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)ex1x，则曲线yf(x)在点(1,2)处的切线方程是_解析：当x>0时，x<0，则f(x)ex1x.又f(x)为偶函数，所以f(x)f(x)x，所以当x>0时，f(x)ex11，则曲线yf(x)在点(1,2)处的切线的斜率为f(1)2，所以切线方程为y22(x1)，即y2x.答案：y2x知识点二 导数的运算 1几种常见函数的导数原函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)_f(x)xn(nQ*)f(x)_f(x)sinxf(x)_f(x)cosxf(x)_f(x)axf(x)_f(x)exf(x)_f(x)logax(a>0，a1，x>0)f(x)_f(x)lnx(x>0)f(x)_2.导数的运算法则(1)f(x)±g(x)_；(2)f(x)·g(x)_；(3)_(g(x)0)3复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yx_，即y对x的导数等于_的_与_的导数的乘积答案10nxn1cosxsinxaxlnaex2(1)f(x)±g(x)(2)f(x)g(x)f(x)g(x)(3)3yu·uxy对u导数u对x4(2016·天津卷)已知函数f(x)(2x1)ex，f(x)为f(x)的导函数，则f(0)的值为_解析：f(x)(2x3)ex，f(0)3.答案：35设函数f(x)在(0，)内可导，且f(ex)xex，则f(1)_.解析：设ext，则xlnt(t>0)，f(t)lntt，f(t)1，f(1)2.答案：2热点一导数的定义 【例1】用导数的定义求函数y3x2在点x0处的导数【解】f(x0) 33.【总结反思】使用导数定义求导数或者证明一些问题时，要充分利用f(x) .已知f(2)1，则 _.解析： 2 2f(2)2.答案：2热点二 导数的运算 考向1运用导数公式求导数【例2】分别求下列函数的导数：(1)yex·cosx；(2)yx；(3)yxsincos.【解】(1)y(ex)cosxex(cosx)excosxexsinx.(2)yx31，y3x2.(3)yxsincosxsinx，y1cosx.考向2运用方程思想求导数【例3】(2017·湖南十二校联考)若函数f(x)lnxf(1)x23x4，则f(1)_.【解析】因为f(x)2f(1)x3，所以f(1)12f(1)3，解得f(1)2，所以f(1)1438.【答案】8【总结反思】(1)求导之前，应利用代数、三角恒等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量.已知f(x)x22xf(2 016)2 016lnx，则f(2 016)_.解析：由题意得f(x)x2f(2 016)，所以f(2 016)2 0162f(2 016)，即f(2 016)(2 0161)2 017.答案：2 017热点三 导数的几何意义 考向1已知切点求切线方程【例4】(2016·新课标全国卷)已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)ln(x)3x，则曲线yf(x)在点(1，3)处的切线方程是_【解析】由题意可得当x>0时，f(x)lnx3x，则f(x)3，f(1)2，则在点(1，3)处的切线方程为y32(x1)，即y2x1.【答案】y2x1考向2未知切点求切线方程【例5】(1)与直线2xy40平行的抛物线yx2的切线方程是()A2xy30 B2xy30C2xy10 D2xy10(2)已知函数f(x)xlnx，若直线l过点(0，1)，并且与曲线yf(x)相切，则直线l的方程为()Axy10 Bxy10Cxy10 Dxy10【解析】(1)对yx2求导得y2x.设切点坐标为(x0，x)，则切线斜率为k2x0.由2x02得x01，故切线方程为y12(x1)，即2xy10.(2)点(0，1)不在曲线f(x)xlnx上，设切点为(x0，y0)，又f(x)1lnx，解得x01，y00.切点为(1,0)，f(1)1ln11.直线l的方程为yx1，即xy10.故选B.【答案】(1)D(2)B考向3与切线有关的参数问题【例6】已知f(x)lnx，g(x)x2mx(m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1)，则m等于()A1 B3C4 D2【解析】f(x)，直线l的斜率为kf(1)1.又f(1)0，切线l的方程为yx1.g(x)xm，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)则有x0m1，y0x01，y0xmx0，m<0.于是解得m2，故选D.【答案】D【总结反思】1与切线有关问题的处理策略(1)已知切点A(x0，y0)求斜率k，即求该点处的导数值，kf(x0)(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1)，即解方程f(x1)k.(3)求过某点M(x1，y1)的切线方程时，需设出切点A(x0，f(x0)，则切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)，再把点M(x1，y1)代入切线方程，求x0.2根据导数的几何意义求参数的值的思路一般是利用切点P(x0，y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解.(1)(2017·大同模拟)曲线yxex2x1在点(0，1)处的切线方程为()Ay3x1 By3x1Cy3x1 Dy2x1(2)已知函数f(x)ax3x1的图象在点(1，f(1)处的切线过点(2,7)，则a_.(3)若直线y2xm是曲线yxlnx的切线，则实数m的值为_解析：(1)由题意得y(x1)ex2，则曲线yxex2x1在点(0，1)处的切线的斜率为(01)e023，故曲线yxex2x1在点(0，1)处的切线方程为y13x，即y3x1.(2)因为f(x)3ax21，所以图象在点(1，f(1)处的切线的斜率k3a1，所以切线方程为y7(3a1)(x2)，即y(3a1)x6a5，又切点为(1，f(1)，所以f(1)3a16a53a6，又f(1)a2，所以3a6a2，解得a1.(3)设切点为(x0，x0lnx0)，由y(xlnx)lnxx·lnx1，得切线的斜率klnx01，故切线方程为yx0lnx0(lnx01)(xx0)，整理得y(lnx01)xx0，与y2xm比较得解得x0e，故me.答案：(1)A(2)1(3)e1对函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误2求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者3曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别按照属地管理，分级负责和谁主管谁负责的原则，各级党组织领导班子对本地区、本单位、本部门意识形态工作负主体责任。党组织书记是第一责任人