生物统计学：相关与回归分析

相关与回归分析,第一节 变量间的相关关系 第二节 一元线性回归 第三节 多元线性回归 第四节 可化为线性回归的曲线回归,第一节 变量间的相关关系,一. 变量相关的概念 二. 相关系数及其计算,变量间的关系（函数关系）,是一一对应的确定关系 设有两个变量 x 和 y ，变量 y 随变量 x 一起变化，并完全依赖于 x ，当变量 x 取某个数值时， y 依确定的关系取相应的值，则称 y 是 x 的函数，记为 y = f (x)，其中 x 称为自变量，y 称为因变量 各观测点落在一条线上,变量间的关系（函数关系）, 函数关系的例子 某种商品的销售额(y)与销售量(x)之间的关系可表示为 y = p x (p 为单价) 圆的面积(S)与半径之间的关系可表示为S = R2 企业的原材料消耗额(y)与产量(x1) 、单位产量消耗(x2) 、原材料价格(x3)之间的关系可表示为y = x1 x2 x3,变量间的关系（相关关系）,变量间关系不能用函数关系精确表达 一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定 当变量 x 取某个值时，变量 y 的取值可能有几个 各观测点分布在直线周围,变量间的关系（相关关系）, 相关关系的例子 商品的消费量(y)与居民收入(x)之间的关系 商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关系 粮食亩产量(y)与施肥量(x1) 、降雨量(x2) 、温度(x3)之间的关系 收入水平(y)与受教育程度(x)之间的关系 父亲身高(y)与子女身高(x)之间的关系,相关关系的类型,相关关系的图示,相关关系的测度（相关系数）,对变量之间关系密切程度的度量 对两个变量之间线性相关程度的度量称为简单相关系数 若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为总体相关系数，记为 若是根据样本数据计算的，则称为样本相关系数，记为 r,相关关系的测度（相关系数）, 样本相关系数的计算公式,或化简为,相关关系的测度 （相关系数取值及其意义）,r 的取值范围是 -1,1 |r|=1，为完全相关 r =1，为完全正相关 r =-1，为完全负正相关 r = 0，不存在线性相关关系相关 -1r0，为负相关 0r1，为正相关 |r|越趋于1表示关系越密切；|r|越趋于0表示关系越不密切,相关关系的测度 （相关系数取值及其意义）,r,相关关系的测度 （相关系数计算例）,【例10.1】在研究我国人均消费水平的问题中，把全国人均消费额记为y，把人均国民收入记为x。我们收集到19811993年的样本数据(xi ，yi)，i =1,2,，13，数据见表10-1，计算相关系数。,相关关系的测度（计算结果）,解：根据样本相关系数的计算公式有 人均国民收入与人均消费金额之间的相关系 数为 0.9987,相关系数的显著性检验（概念要点）,检验两个变量之间是否存在线性相关关系 等价于对回归系数 b1的检验 采用 t 检验 检验的步骤为 提出假设：H0： ；H1： 0,计算检验的统计量：,确定显著性水平，并作出决策 若tt，拒绝H0 若tt，接受H0,相关系数的显著性检验（实例）, 对前例计算的相关系数进行显著性检(0.05) 提出假设：H0： ；H1： 0 计算检验的统计量,3. 根据显著性水平0.05，查t分布表得t(n-2)=2.201 由于t=64.9809t(13-2)=2.201，拒绝H0，人均消费金额与人均国民收入之间的相关关系显著,相关系数的显著性检验 （相关系数检验表的使用）,若IrI大于表上的=5%相应的值，小于表上1%相应的值，称变量x与y之间有显著的线性关系 若IrI大于表上=1%相应的值，称变量x与y之间有十分显著的线性关系 若IrI小于表上=5%相应的值，称变量x与y之间没有明显的线性关系 根据前例的r0.9987=5%(n-2)=0.553，表明人均消费金额与人均国民收入之间有十分显著的线性相关关系,第二节 一元线性回归,一. 一元线性回归模型 参数的最小二乘估计 回归方程的显著性检验 预测及应用,什么是回归分析？（内容）,从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关系式 对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影响显著，哪些不显著 利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取值来预测或控制另一个特定变量的取值，并给出这种预测或控制的精确程度,回归方程一词是怎么来的,回归分析与相关分析的区别,相关分析中，变量 x 变量 y 处于平等的地位；回归分析中，变量 y 称为因变量，处在被解释的地位，x 称为自变量，用于预测因变量的变化 相关分析中所涉及的变量 x 和 y 都是随机变量；回归分析中，因变量 y 是随机变量，自变量 x 可以是随机变量，也可以是非随机的确定变量 相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密切程度；回归分析不仅可以揭示变量 x 对变量 y 的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制,回归模型的类型,回归模型,回答“变量之间是什么样的关系？” 方程中运用 1 个数字的因变量(响应变量) 被预测的变量 1 个或多个数字的或分类的自变量 (解释变量) 用于预测的变量 3. 主要用于预测和估计,一元线性回归模型 （概念要点）,当只涉及一个自变量时称为一元回归，若因变量 y 与自变量 x 之间为线性关系时称为一元线性回归 对于具有线性关系的两个变量，可以用一条线性方程来表示它们之间的关系 描述因变量 y 如何依赖于自变量 x 和误差项 的方程称为回归模型,一元线性回归模型 （概念要点）, 对于只涉及一个自变量的简单线性回归模型可表示为 y = b0 + b1 x + e 模型中，y 是 x 的线性函数(部分)加上误差项 线性部分反映了由于 x 的变化而引起的 y 的变化 误差项 是随机变量 反映了除 x 和 y 之间的线性关系之外的随机因素对 y 的影响 是不能由 x 和 y 之间的线性关系所解释的变异性 0 和 1 称为模型的参数,一元线性回归模型（基本假定）,误差项是一个期望值为0的随机变量，即E()=0。对于一个给定的 x 值，y 的期望值为E ( y ) = 0+ 1 x 对于所有的 x 值，的方差2 都相同 误差项是一个服从正态分布的随机变量，且相互独立。即N( 0 ,2 ) 独立性意味着对于一个特定的 x 值，它所对应的与其他 x 值所对应的不相关 对于一个特定的 x 值，它所对应的 y 值与其他 x 所对应的 y 值也不相关,回归方程 （概念要点）,描述 y 的平均值或期望值如何依赖于 x 的方程称为回归方程 简单线性回归方程的形式如下 E( y ) = 0+ 1 x,方程的图示是一条直线，因此也称为直线回归方程 0是回归直线在 y 轴上的截距，是当 x=0 时 y 的期望值 1是直线的斜率，称为回归系数，表示当 x 每变动一个单位时，y 的平均变动值,估计(经验)的回归方程,简单线性回归中估计的回归方程为,其中： 是估计的回归直线在 y 轴上的截距， 是直线的斜率，它表示对于一个给定的 x 的值，是 y 的估计值，也表示 x 每变动一个单位时， y 的平均变动值,用样本统计量 和 代替回归方程中的未知参数 和 ，就得到了估计的回归方程,总体回归参数 和 是未知的，必需利用样本数据去估计,参数 0 和 1 的最小二乘法 （概念要点）,使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和达到最小来求得 和 的方法。即,用最小二乘法拟合的直线来代表x与y之间的关系与实际数据的误差比其他任何直线都小,最小二乘法（图示）,最小二乘法 （ 和 的计算公式）, 根据最小二乘法的要求，可得求解 和 的标准方程如下,估计方程的求法 （实例）,【例】根据例10.1中的数据，配合人均消费金额对人均国民收入的回归方程 根据 和 的求解公式得,估计(经验)方程,人均消费金额对人均国民收入的回归方程为,y = 54.22286 + 0.52638 x,估计方程的求法 （Excel的输出结果）,离差平方和的分解,因变量 y 的取值是不同的，y 取值的这种波动称为变差。变差来源于两个方面 由于自变量 x 的取值不同造成的 除 x 以外的其他因素(如x对y的非线性影响、测量误差等)的影响 对一个具体的观测值来说，变差的大小可以通过该实际观测值与其均值之差 来表示,离差平方和的分解（图示）,离差平方和的分解 （三个平方和的关系）,2. 两端平方后求和有,从图上看有,SST = SSR + SSE,离差平方和的分解 （三个平方和的意义）,总平方和(SST) 反映因变量的 n 个观察值与其均值的总离差 回归平方和(SSR) 反映自变量 x 的变化对因变量 y 取值变化的影响，或者说，是由于 x 与 y 之间的线性关系引起的 y 的取值变化，也称为可解释的平方和 残差平方和(SSE) 反映除 x 以外的其他因素对 y 取值的影响，也称为不可解释的平方和或剩余平方和,样本决定系数 （判定系数 r2 ）,回归平方和占总离差平方和的比例,反映回归直线的拟合程度 取值范围在 0 , 1 之间 r2 1，说明回归方程拟合的越好；r20，说明回归方程拟合的越差 判定系数等于相关系数的平方，即r2(r)2,回归方程的显著性检验 （线性关系的检验 ）,检验自变量和因变量之间的线性关系是否显著 具体方法是将回归离差平方和(SSR)同剩余离差平方和(SSE)加以比较，应用F检验来分析二者之间的差别是否显著 如果是显著的，两个变量之间存在线性关系 如果不显著，两个变量之间不存在线性关系,回归方程的显著性检验 （检验的步骤）,提出假设 H0：线性关系不显著,2. 计算检验统计量F,确定显著性水平，并根据分子自由度1和分母自由度n-2找出临界值F 作出决策：若FF ,拒绝H0；若FF ,接受H0,回归方程的显著性检验 （方差分析表）,（续前例）Excel 输出的方差分析表,平方和,均方,估计标准误差 Sy,实际观察值与回归估计值离差平方和的均方根 反映实际观察值在回归直线周围的分散状况 从另一个角度说明了回归直线的拟合程度 计算公式为,注：上例的计算结果为14.949678,回归系数的显著性检验 （要点）,在一元线性回归中，等价于回归方程的显著性检验,检验 x 与 y 之间是否具有线性关系，或者说，检验自变量 x 对因变量 y 的影响是否显著,理论基础是回归系数 的抽样分布,回归系数的显著性检验 （样本统计量 的分布）,是根据最小二乘法求出的样本统计量，它有自己的分布 的分布具有如下性质 分布形式：正态分布 数学期望： 标准差： 由于无未知，需用其估计量Sy来代替得到 的估计的标准差,回归系数的显著性检验 （样本统计量 的分布）,回归系数的显著性检验 （步骤）,提出假设 H0: b1 = 0 (没有线性关系) H1: b1 0 (有线性关系) 计算检验的统计量,确定显著性水平，并进行决策 tt，拒绝H0； tt，接受H0,回归系数的显著性检验 （实例）,提出假设 H0：b1 = 0 人均收入与人均消费之间无线性关系 H1：b1 0 人均收入与人均消费之间有线性关系 计算检验的统计量,t=65.0758t=2.201，拒绝H0，表明人均收入与人均消费之间有线性关系,对前例的回归系数进行显著性检验(0.05),回归系数的显著性检验 (Excel输出的结果）,利用回归方程进行估计和预测,根据自变量 x 的取值估计或预测因变量 y的取值 估计或预测的类型 点估计 y 的平均值的点估计 y 的个别值的点估计 区间估计 y 的平均值的置信区间估计 y 的个别值的预测区间估计,利用回归方程进行估计和预测 （点估计）,2. 点估计值有 y 的平均值的