生物统计学：几种常见的概率分布律

几种常见的概率分布律,3.1 二项分布 3.2 泊松分布 3.3 另外几种离散型概率分布 3.4 正态分布 3.5另外几种连续型概率分布 3.6 中心极限定理,3.1 二项分布,一、贝努利试验及其概率公式 将某随机试验重复进行n次，若各次试验结果互不影响，即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果，则称这n次试验是独立的。 对于n次独立的试验，如果每次试验结果出现且只出现对立事件A与 之一，在每次试验中出现A的概率是常数p(0p1) ，因而出现对立事件 的概率是1-p=q，则称这一串重复的独立试验为n重贝努利试验，简称贝努利试验(Bernoulli trials)。,在生物学研究中，我们经常碰到的一类离散型随机变量，如孵n枚种蛋的出雏数、n头病畜治疗后的治愈数、n 尾鱼苗的成活数等，可用贝努利试验来概括。 在n重贝努利试验中，事件 A 可能发生0，1，2，n次，现在我们来求事件A恰好发生k(0kn)次的概率Pn(k)。,二、二项分布的意义及性质 二项分布定义如下： 设随机变量x所有可能取的值为零和正整数：0,1,2,，n，且有 k=0,1,2，n 其中p0，q0，p+q=1，则称随机变量x服从参数为n和p的二项分布 (binomial distribution),记为 xB(n, p)。,二项分布具有概率分布的一切性质，即： 1. P(x=k)= Pn(k) (k=0,1,，n) 2. 二项分布的概率之和等于1，即,3. (3-2) 4. (3-3) 5. （m1m2） (3-4),二项分布由n和p两个参数决定： 1. 当p值较小且n不大时，分布是偏倚的。但随着n的增大，分布逐渐趋于对称； 2. 当 p 值 趋于 0.5 时，分布趋于对称； 3. 对于固定的n及p，当k增加时，Pn(k)先随之增加并达到其极大值，以后又下降。 此外，在n较大，np、nq 较接近时，二项分布接近于正态分布；当n时，二项分布的极限分布是正态分布。,三、二项分布的概率计算及应用条件 【例3.1】 纯种白猪与纯种黑猪杂交，根据孟德尔遗传理论 ， 子二代中白猪与黑猪的比率为31。求窝产仔10头，有7头白猪的概率。 根据题意，n=10，p=34=0.75，q=14=0.25。设10头仔猪中白色的为x头，则x为服从二项分布B(10，0.75)的随机变量。于是窝产10头仔猪中有7头是白色的概率为：,【例3.2】 设在家畜中感染某种疾病的概率为20，现有两种疫苗，用疫苗A 注射了15头家畜后无一感染，用疫苗B 注射 15头家畜后有1头感染。设各头家畜没有相互传染疾病的可能，问：应该如何评价这两种疫苗? 假设疫苗A完全无效，那么注射后的家畜感染的概率仍为20，则15 头家畜中染病头数x=0的概率为,同理，如果疫苗B完全无效，则15头家畜中最多有1头感染的概率为：,【例3.3】 仔猪黄痢病在常规治疗下死亡率为20，求5 头病猪治疗后死亡头数各可能值相应的概率。 设5头病猪中死亡头数为x，则x服从二项分布B(5, 0.2)，其所有可能取值为0，1，5，按(3-1)式计算概率，用分布列表示如下： 0 1 2 3 4 5 0.3277 0.4096 0.2048 0.0512 0.0064 0.0003,二项分布的应用条件有三： （1）各观察单位只具有互相对立的一种结果，如阳性或阴性，生存或死亡等，属于二项分类资料； （2）已知发生某一结果 (如死亡) 的概率为p，其对立结果的概率则为1-P=q，实际中要求p 是从大量观察中获得的比较稳定的数值； （3）n个观察单位的观察结果互相独立，即每个观察单位的观察结果不会影响到其它观察单位的观察结果。,四、二项分布的平均数与标准差 统计学证明，服从二项分布B(n,p)的随机变量之平均数、标准差与参数n、p有如下关系： 当试验结果以事件A发生次数k表示时 =np (3-5) (3-6),【例3.4】求【例3.3】平均死亡猪数及死亡数的标准差。 以p=0.2,n=5代入 (3-5)和(3-6) 式得： 平均死亡猪数 =5×0.20=1.0(头) 标准差 (头),3.2 波松分布,波松分布是一种可以用来描述和分析随机地发生在单位空间或时间里的稀有事件的概率分布。要观察到这类事件，样本含量 n 必须很大 。 在生物、医学研究中，服从波松分布的随机变量是常见的。如，一定畜群中某种患病率很低的非传染性疾病患病数或死亡数，畜群中遗传的畸形怪胎数， 每升饮水中大肠杆菌数，计数器小方格中血球数，单位空间中某些野生动物或昆虫数等，都是服从波松分布的。,一、波松分布的意义 若随机变量x(x=k)只取零和正整数值0，1，2，且其概率分布为 ， k=0，1， (3-10) 其中0；e=2.7182 是自然对数的底数，则称x服从参数为的波松分布(Poissons distribution)，记 为 xP()。,波松分布重要的特征： 平均数和方差相等，都等于常数，即 =2= 【例3.5】 调查某种猪场闭锁育种群仔猪畸形数，共记录200窝， 畸形仔猪数的分布情况如表3-1所示。试判断畸形仔猪数是否服从波松分布。,=(120×0+62×1+15×2+2×3+1×4)/200 =0.51,表3-1 畸形仔猪数统计分布,样本均数和方差S2计算结果如下：,=0.51，S2=0.52，这两个数是相当接近的， 因此可以认为畸形仔猪数服从波松分布。,是波松分布所依赖的唯一参数。值愈小分布愈偏倚，随着的增大 ，分 布趋于对称(如下图所示)。当= 20时分布接近于正态分布；当=50时， 可以认 为波松分布呈正态分布。 所以在实际工作中，当20时就可以用正态分布来近似地处理波松分布的问题。,二、波松分布的概率计算 由(3-10)式可知，波松分布的概率计算，依赖于参数 的确定，只要参数确定了，把k=0，1，2， 代入(3-10)式即可求得各项的概率。 但是在大多数服从波松分布的实例中，分布参数往往是未知的，只能从所观察的随机样本中计算出相应的样本平均数作为的估计值，将其代替(3-10)式中的，计算出 k = 0，1，2， 时的各项概率。,如【例3.6】中已判断畸形仔猪数服从波松分布，并已算出样本平均数=0.51。将0.51代替公式（3-10）中的得： (k=0, 1, 2, ) 因为e-0.51=1.6653，所以畸形仔猪数各项的概率为： P(x=0)=0.510(0!×1.6653)=0.6005 P(x=1)=0.511(1!×1.6653)=0.3063 P(x=2)=0.512(2!×1.6653)=0.0781,P(x=3)=0.513(3!×1.6653)=0.0133 P(x=4)=0.514(4!×1.6653)=0.0017 把上面各项概率乘以总观察窝数(n=200)即得各项按波松分布的理论窝数。 波松分布与相应的频率分布列于表3-2中。,表3-2 畸形仔猪数的波松分布 将实际计算得的频率与根据=0.51的泊松分布计算的概率相比较 ，发现畸形仔猪的频率分布与 =0.51 的 波松分布是吻合得很好的 。这进一步说明了畸形仔猪数是服从波松分布的。,【例3.7】 为监测饮用水的污染情况， 现检验某社区每毫升饮用水中细菌数 ， 共得400个记录如下： 试分析饮用水中细菌数的分布是否服从波松分布。若服从，按波松分布计算每毫升水中细菌数的概率及理论次数并将頻率分布与波松分布作直观比较。,经计算得每毫升水中平均细菌数 =0.500,方差S2=0.496。两者很接近，故可认为每毫升水中细菌数服从波松分布。以=0.500代替 （3-10）式中的，得 (k=0, 1, 2, ) 计算结果如表3-3所示。,表3-3 细菌数的波松分布 可见细菌数的频率分布与=0.5的波松分布是相当吻合的 ， 进一步说明用波松分布描述单位容积(或面积)中细菌数的分布是适宜的。,注意，二项分布的应用条件也是波松分布 的应用条件。,对于波松分布，当时 ，波松分布以正态分布为极限。在实际计算中， 当 20 (也有人认为6)时，用波松分布中的代替正态分布中的及2 ，即可由后者对前者进行近似计算。,3.3另外几种离散型概率分布,1、超几何分布 2、负二项分布,1. 超几何分布,从一个包含两种不同类型个体的有限总体中，做非放回式抽样。在n次抽样中，抽中某种类型个体数即为服从超几何分布的随机变量。 概率函数： N：总体中个体数 K：两种类型中某一种类型的个体数 n：非放回式抽样的次数 x：在n次抽样中某一种类型的个体数,平均数： 方差：,2. 负二项分布,负二项分布所要求的条件与二项分布是一样的。不同的是负二项分布需要求出在第x次试验时，发生第k次事件A的概率。或者说，在x次试验中，共发生k次事件A，而且事件A的第k次试验恰恰是在第x次试验发生的。,3.4 正态分布,正态分布是一种很重要的连续型随机变量的概率分布。生物现象中有许多变量是服从或近似服从正态分布的。许多统计分析方法都是以正态分布为基础的。此外，还有不少随机变量的概率分布在一定条件下以正态分布为其极限分布。因此在统计学中，正态分布无论在理论研究上还是实际应用中 ， 均占有重要的地位。,一、正态分布的定义及其特征 （一） 正态分布的定义 若连续型随机变量x的概率分布密度函数为 (3-6) 其中为平均数，2为方差，则称随机变量x服从正态分布(normal distribution)， 记为xN(,2)。相应的概率分布函数为 (3-7),分布密度曲线如图所示。,(二) 正态分布的特征 1、正态分布密度曲线是单峰、对称的悬钟形曲线，对称轴为x=； 2、f(x) 在 x =处达到极大 ，极大值 ； 3、f(x)是非负函数，以x轴为渐近线，分布从-至+； 4、曲线在x=±处各有一个拐点，即曲线在(-,-)和(+,+) 区间上是下凸的，在-,+区间内是上凸的； 5、正态分布有两个参数，即平均数和标准差。 6、分布密度曲线与横轴所夹的面积为1，即：,是位置参数，如图所示。 当恒定时，愈大，则曲线沿x轴愈向右移动；反之，愈小，曲线沿x轴愈向左移动。,是变异度参数， 如图所示 。 当恒定时， 愈大，表示 x 的取值愈分散， 曲线愈“胖”；愈小，x的取值愈集中在附近，曲线愈“瘦”。,二、标准正态分布 由上述正态分布的特征可知 ，正态分布是依赖于参数和2 (或) 的一簇 分布，正态曲线之位置及形态随和2的不同而不同。 这就给研究具体的正态总体带来困难，需将一般的N(，2) 转换为= 0,2=1的正态分布。,我们称=0,2=1的正态分布为标准正态分布(standard normal distribution)。 标准正态分布的概率密度函数及分布函数分别记作(u)(Psi)和(Phi)(u)，由 (3-6)及(3-7) 式得： (3-8) (3-9),随机变量u服从标准正态分布，记作uN(0，1)，分布密度曲线如图所示。,对于任何一个服从正态分布N(,2)的随机变量x，都可以通过标准化变换： u=(x-) (3-10) 将其变换为服从标准正态分布的随机变量u。 u称为标准正态变量或标准正态离差(standard normal deviate)。,三、正态分布的概率计算 （一）标准正态分布的概率计算 设u服从标准正态分布，则 u 在u1,u2 ）何内取值的概率为： (u2)(u1)