高中数学 第一章 不等式的基本性质和证明不等式的基本方法 1_1_1 不等式的基本性质学案 新人教b版选修4-5

安全教育学习是提高员工安全防范意识的重要措施。“百日安全活动”开展以来，保卫部从自身着手对本部门所有员工开展集中安全教育培训11.1不等式的基本性质读教材·填要点1实数的大小的几何意义和代数意义之间的联系设a，bR，则abab0；abab0；abab0.2不等式的基本性质(1)对称性abba(2)传递性ab，bcac(3)加(减)abacbc(4)乘(除)ab，c0acbc；ab，c0acbc(5)乘方ab0anbn(nN，n2)(6)开方ab0(nN，n2)(7)加法法测a>b，c>aac>bd(8)乘法法测a>b>0，c>d>0ac>bd小问题·大思维1若xy，ab，则在axby，axby，axby，xbya，这五个不等式中，恒成立的不等式有哪些？提示：令x2，y3，a3，b2，符合题设条件xy，ab，则ax3(2)5，by2(3)5，axby，因此不成立又ax6，by6，axby，因此也不正确又1，1，因此不正确由不等式的性质可推出恒成立即恒成立的不等式有.2若a<b，一定有>吗？提示：不一定如a1，b2.事实上，当ab>0时，若a<b，则有>；当ab<0时，若a<b，则有<；当ab0时，若a<b，则与中有一个式子无意义作差法比较大小例1xR，比较x31与2x22x的大小思路点拨本题考查利用作差法比较两个代数式的大小解答本题需要将作差后的代数式分解因式，然后根据各因式的符号判断x31与2x22x的大小精解详析(x31)(2x22x)(x3x2)(x22x1)x2(x1)(x1)2(x1)(x2x1)x2x120，当x1时，(x1)(x2x1)0.即x312x22x；当x1时，(x1)(x2x1)0，即x312x22x.当x1时，(x1)(x2x1)0，即x312x22x.(1)用作差法比较两个数(式)的大小时，要按照“三步一结论”的程序进行，即：，其中变形是关键，定号是目的(2)在变形中，一般是变形得越彻底越有利于下一步的判断变形的常用技巧有：因式分解、配方、通分、分母有理化等(3)在定号中，若为几个因式的积，需每个因式均先定号，当符号不确定时，需进行分类讨论1当a0时，比较(a2a1)(a2a1)与(a2a1)(a2a1)的大小解：两式作差得(a2a1)(a2a1)(a2a1)(a2a1)(a21)2(a)2(a21)2a2a2.a0，a2<0.(a2a1)(a2a1)<(a2a1)(a2a1).不等式性质的简单应用例2下列命题中正确的是()(1)若ab，cb，则ac；(2)若ab，则lg0；(3)若ab，cd，则acbd；(4)若ab0，则<；(5)若，则adbc；(6)若ab，cd，则adbc.A(1)(2)B(4)(6)C(3)(6) D(3)(4)(5)思路点拨本题考查对不等式的性质的理解，解答本题需要利用不等式的性质或利用特殊值逐项判断精解详析(1)错误因为当取a4，b2，c6时，有ab，cb成立，但ac不成立(2)错误因为a、b符号不确定，所以无法确定1是否成立，从而无法确定lg0是否成立(3)错误此命题当a、b、c、d均为正数时才正确(4)正确因为ab，且a、b同号，所以ab0，两边同乘以，得.(5)错误只有当cd0时，结论才成立(6)正确因为cd，所以dc，又ab，所以adbc.综上可知(4)(6)正确答案B运用不等式的性质时要注意条件，如倒数法则要求两数同号；两边同乘一个数，不等号方向是否改变要视此数的正负而定；同向不等式可以相加，异向不等式可以相减2若m，nR，则>成立的一个充要条件是()Am>0>nBn>m>0Cm<n<0 Dmn(mn)<0解析：>>0>0mn(nm)>0mn(mn)<0.答案：D利用不等式的性质求取值范围例3已知<<，<<，求2的取值范围思路点拨解答本题时，将，看作整体，再求出2的取值范围精解详析设2A()B()，则2(AB)(AB).比较两边系数得2()()<()<，<()<，<2<.故2.(1)若已知某两个代数式的取值范围，求另一个代数式的取值范围时，应利用待定系数法把所求代数式用已知的两代数式表示，进而利用同向不等式的可加性求其范围，否则可能导致所求代数式范围变大(2)同一问题中应用同向不等式相加性质时，不能多次使用，否则可能导致范围扩大3若已知二次函数yf(x)的图象过原点，且1f(1)2,3f(1)4.求f(2)的范围解：法一：f(x)过原点，可设f(x)ax2bx.f(2)4a2b3f(1)f(1)1f(1)2,3f(1)4.6f(2)10.法二：设f(x)ax2bx，则f(1)ab，f(1)ab.令m(ab)n(ab)f(2)4a2b，f(2)(ab)3(ab)f(1)3f(1)1f(1)2,3f(1)4，6f(2)10.对应学生用书P3一、选择题1已知a，b，c，d为实数，且c>d，则“a>b”是“ac>bd”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：由a>b；而当ac2，bd1时，满足但ac>bd不成立，所以“a>b”是“ac>bd”的必要而不充分条件答案：B2已知a，b，cR，且ab0，则下面推理中正确的是()Aabam2bm2BabCa3b3 Da2b2ab解析：对于A，若m0，则不成立；对于B，若c0，则不成立；对于C，a3b30(ab)(a2abb2)0，a2abb2(a)2b20恒成立，ab0.ab.又ab0，.C成立对于D，a2b2(ab)(ab)0，不能说ab.答案：C3设a，bR，若a|b|>0，则下列不等式正确的是()Aba>0 Ba3b3<0Ca2b2<0 Dba>0解析：a|b|>0，a>|b|>0.不论b取任何实数不等式ab>0都成立答案：D4如果aR，且a2a0，那么a，a2，a，a2的大小关系是()Aa2aa2a Baa2a2aCaa2aa2 Da2aaa2解析：a2a0，即a(a1)0，可得，1a0，aa20，0a2a.综上有aa2a2a.答案：B二、填空题5若f(x)3x2x1，g(x)2x2x1，则f(x)与g(x)的大小关系是f(x)_g(x)解析：f(x)g(x)(3x2x1)(2x2x1)x22x2(x1)2110，f(x)g(x)答案：6已知12<a<60,15<b<36，则ab的取值范围分别是_解析：12<a<60，36<b<15，24<ab<45.答案：(24,45)7给出下列条件：1ab；0ab1；0a1b.其中能推出logblogalogab成立的条件的序号是_(填所有可能的条件的序号)解析：logb1，若1ab，则1b，logaloga1，故条件不可以；若0ab1，则b1.logablogaloga1logb，故条件可以；若0a1b，则01，loga0，logab0，条件不可以故应填.答案：8设xa2b25，y2aba24a，若x>y，则实数a，b满足的条件是_解析：x>y，a2b252aba24aa24a4a2b22ab1(a2)2(ab1)2>0.ab1或a2.答案：ab1或a2.三、解答题9已知<，求，的范围解：<，.因而两式相加得<.又，.<.又，0.0.即，.10已知a，b正实数且ab，比较与ab的大小解：(ab)ba(a2b2)，又a>0，b>0，且ab，(ab)2>0，ab>0，ab>0，>ab.11已知，满足试求3的取值范围解：设3()u(2)(u)(2u).比较，的系数，得由题意得11,2246，两式相加，得137.故3的取值范围是1,7在治安防范工作中保卫部要求治安员按照“全覆盖、零容忍”的工作原则，明确责任、清晰目标，坚持对重点要害部位进行“地毯式”巡查