2016年自主招生数学试题
2016复旦附中创新拔尖人才培养选拔校园日 复旦附中创新拔尖人才培养选拔校园日 一. 填空题 1. 已知 一. 填空题 1. 已知 abc x bcacab ，则则x _. 2. 已知函数 _. 2. 已知函数 2 253 23yxaxbxb 图像关于图像关于y轴对称，则轴对称，则ab_. 3. 已知函数 _. 3. 已知函数 2 221ykxkxk的图像与的图像与x轴只有一个交点，则轴只有一个交点，则k _. 4. 在同一个直角坐标系中， 已知直线 _. 4. 在同一个直角坐标系中， 已知直线y kx 与函数与函数 283 233 243 xx yx xx ， ， ， 图像恰好有三个 公共点，则 图像恰好有三个 公共点，则k的取值范围是_. 5. 如图，在梯形 的取值范围是_. 5. 如图，在梯形ABCD中，中，ABCD CDAB，设 设E F、 分别是分别是AC BD、 的中点，的中点，AC 与与BD交于点交于点O，已知已知OEF是边长为是边长为1的正三角形，的正三角形，BOC的面积为的面积为 15 3 4 ， 则梯形 则梯形ABCD的面积为_. 的面积为_. 6. 已知矩形 6. 已知矩形ABCD中，中， 1ABBCa，若在边 若在边BC上存在点上存在点Q，满足满足AQ QD，则 则a的 取值范围是_. 7. 已知锐角 的 取值范围是_. 7. 已知锐角ABC的三边长恰为三个连续正整数，的三边长恰为三个连续正整数，AB BCCA，若 若BC边上的高为边上的高为 AD，则 则BDDC_. _. E F B O DC A D B C A 8. 已知实数 8. 已知实数m n， （其中（其中1m n）分别满足：）分别满足： 22 19991099190mmnn ， 则 则 41mnm n _. 9. 若关于 _. 9. 若关于x的方程的方程 2 240xxxm有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形 的三边长，则 有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形 的三边长，则m的取值范围是_. 的取值范围是_. 10. 如图，矩形10. 如图，矩形ABCD中，中， 34ABBC，点 点E是是BC边上一点，连接边上一点，连接AE，把把B沿沿AE 折叠，使点折叠，使点B落在点落在点'B处，当处，当'CEB为直角三角形时，为直角三角形时，BE的长为_. 的长为_. 11. 如图， 11. 如图，OA OD， 是是O的半径，延长的半径，延长OA至至B，使使OA ABC，是 是OA的中点，的中点，AOD为 锐角 为 锐角，连接连接CD BD，且 且CD a，则 则 _.BD 12. 已知直角三角形的三边长都是整数，且其面积与周长在数值上相等，若将全等的三角 形都作为同一个，那么这样的直角三角形的个数是_个. 12. 已知直角三角形的三边长都是整数，且其面积与周长在数值上相等，若将全等的三角 形都作为同一个，那么这样的直角三角形的个数是_个. 13. 设 13. 设 10n n 个机场，每一机场起飞一架飞机，飞到离起飞机场最近的机场降落，且任 何两机场之间的距离都不相等，则任意一个机场降落的飞机架数的最大值为_. 个机场，每一机场起飞一架飞机，飞到离起飞机场最近的机场降落，且任 何两机场之间的距离都不相等，则任意一个机场降落的飞机架数的最大值为_. E B' BC DA C B A O D 二. 解答题 14. 关于 二. 解答题 14. 关于x的方程的方程 22 2120xmxmm的两个根分别为的两个根分别为 12. xx， 1若若 12 5xx，求求m的值； 的值； 2若若 12 xx，均为整数，求均为整数，求m的值. 的值. 15. 如图， 15. 如图，ABC中，中， 56ABBCAC，过点 过点A作作AD BC，点 点P Q，分别是射线 分别是射线 AD、线段 线段BA上的动点，且上的动点，且AP BQ，过点 过点P作作PEAC交线段交线段AQ于点于点O，联结联结PQ， 记记AP xPOQ， 面积为面积为 . y 1求求y关于关于x的函数关系式，并写出的函数关系式，并写出x的取值范围； 的取值范围； 2联结联结QE，若若PQE与与POQ相似，求相似，求AP的长. 的长. 16. 一幢 16. 一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳32人，而且只能在第人，而且只能在第2层 到第 层 到第33层中的某一层停一次，对于每个人来说，他往下走一层楼感到层中的某一层停一次，对于每个人来说，他往下走一层楼感到1分不满意，往上走 一层楼梯感到 分不满意，往上走 一层楼梯感到3分不满意. 现在有分不满意. 现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第个人在第一层，并且他们分别住在第2至第至第33层的每 一层，问：电梯停在哪一层，可以使得这 层的每 一层，问：电梯停在哪一层，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？ （有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼） 个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？ （有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼） O E PA CB Q D 17. 设17. 设x是实数，不大于是实数，不大于x的最大整数叫做的最大整数叫做x的整数部分，记作的整数部分，记作 x ， 如 如 1.21331.32 ， 222 111 1 10 11 111 121201620171 10 1111 1220162017 S ， 求求 90S; ; 2解关于解关于x的方程：的方程： 2 1 2312. 2 x xx
