2014年自主招生数学试题

2014 复附自主招生试卷 2014 复附自主招生试卷 一、填空题 1. 若 22 3-894613Mxxyyxy(, x y是实数)，则M的值一定是( ) A. 零 B. 负数 C. 正数 D. 整数 2. 已知sincos，那么锐角的取值范围是( ) A. 3045 B. 045 C. 4560 D. 090 3. 已知实数a满足|2008|2009aaa，那么 2 2008a 值是( ) A. 2009 B. 2008 C. 2007 D. 2006 4. 如图是一个正方体的表面展开图，已知正方体的每一个面都有一个实数，且相对面上的 两个数互为倒数，那么代数式 a b c 的值等于( ). A. 3 4 B. 6 C. 3 4 D. 6 5. 二次函数 2 yaxbxc的图像如图所示，,2Q n是图像上的一点，且AQBQ，则a 的值为( ) A. 1 3 B. 1 2 C. 1 D. 2 6. 矩形纸片ABCD中，3,4ABcm BCcm，现将纸片折叠压平，使A与C重合，设折叠 为EF，则重叠部分AEF的面积等于( )。 A. 73 8 B. 75 8 C. 73 16 D. 75 16 7. 若 abc t bccaab ，则一次函数 2 ytxt的图像必定经过的象限是( ) A. 第一、二象限 B. 第一、 二、 三象限 C. 第二、 三、 四象限 D. 第三、四象限 8. 如图， 以Rt ABC的斜边BC为一边在ABC的同侧作正方形BCEF， 设正方形的中心为 O，连结AO，如果4,6 2ABAO，那么AC的长等于( ) A. 12 B. 16 C. 4 3 D. 8 2 二、填空题 9. 已知 2 10xx ，那么代数式 3 21xx的值是_。 10. 已知, ,x y z为实数，且5,3xyzxyyzzx，则z的取值范围为_。 11. 已知点1,3 ,5, 2AB，在x轴上找一点P，使|APBP最大，则满足条件的点P的 坐标是_。 12. 设 1232007 ,x x xx为 实 数 ， 且 满 足 123200712320071232007 x x xxxx xxx xxx 12320062007 1x x xxx，则 2000 x的值是_。 13. 对于正数x，规定 1 x f x x ，计算 11111 100999832 fffff 1239899100ffffff_。 14. 如果关于x的方程 2 21210xaxa 有一个小于1的正数根，那么实数a的取值 范围是_。 15. 在Rt ABC中，90 ,3,4CACBC。若以C点为圆心，r为半径所作的圆与斜边 AB只有一个公共点，则r的取值范围是_。 三、解答题： 16. 某超市去年12月份的销售额为100万元，今年2月份的销售额比今年1月份的销售额多 24万元，若去年12月份到今年2月份每个月销售额增长的百分数相同。 求：(1) 这个相同的百分数；(2) 2月份的销售额。 17. 如图，ABCD、AD,CE F、G分别是AC和FD的中点， 过G的直线依次交AB、 AD、CD、CE于点M、N、P、Q，求证：2MNPQPN。 18. 如图，已知点P是抛物线 2 1 1 4 yx上的任意一点，记点P到x轴距离为 1 d，点P与 点0,2F的距离为 2 d。 (1) 证明 12 dd； (2) 若直线PF交此抛物线于另一点Q(异于P点)，试判断以PQ为直径的圆与x轴的位置 关系，并说明理由。 19. 如图， 已知ABC中，ABa， 点D在AB边上移动(点D不与A、B重合)，DEBC, 交AC于E，连结CD。设 1 , ABCDEC SS SS。 (1) 当D为AB中点时，求 1: SS的值； (2) 若 1 , S ADxy S ，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围； (3) 是否存在点D，使得 1 1 4 SS成立？若存在，求出D点位置；若不存在，请说明理由。 20. 已知 2 4ymm，若m为整数，在使得y为完全平方数的所有m的值中，设m的最 大值为a，最小值为b，次小值为c。(注：一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们 就称这个数为完全平方数。) (1) 求a、b、c的值； (2) 对a、b、c进行如下操作：任取两个求其和再除以2，同时求其差再除以2，剩下 的另一个数不变，这样就仍得到三个数。再对所得三个数进行如上操作，问能否经过若干次 上述操作，所得三个数的平方和等于2008？证明你的结论。