2015年自主招生数学试题

2015 年复旦附中自招数学试卷 2015 年复旦附中自招数学试卷 填空填空 A 1、若、若 22 xabyab， ，则，则 22 xyxy（）（） _ 2、 12 3xx，求，求 12 xx、的方差的方差_ 3、从、从 1,4,7295,298（隔（隔 3 的自然数）中任选两个数相加，和的不同值有的自然数）中任选两个数相加，和的不同值有_个个 4、解方程：、解方程： 2 1 22 x xx 5、 2 815 2 31 xx x x 的解有的解有_个。个。 6、 375 31(1 2 )8 mxmx mxxm x 有正数解，求有正数解，求m的取值范围的取值范围_ 7、 2 104yxxm与与x轴两个交点在轴两个交点在x的正半轴，求的正半轴，求m的取值范围。的取值范围。 8、 495 235 xyx zz 时，求时，求 x y 的值的值 9、矩形、矩形ABCD中，中，3ABBC，将矩 形折叠，点 ，将矩 形折叠，点B落在边落在边AD上的点上的点M处，处， C落在落在N处，求处，求 ECFB AM E BA DC F M N 填空填空 B 1、 扫雷游戏扫雷游戏 2、 已知不等式：、 已知不等式： 2 1yxpx 求能使求能使x y 最大值为最大值为 2 的负实数的负实数p的取值范围。的取值范围。 3、如图所示，直线、如图所示，直线l经过点经过点P，且垂直于，且垂直于AB，当长方形，当长方形AOBP的周长为的周长为 20 时，请求出 无论图形如何变化， 时，请求出 无论图形如何变化，l始终经过的定点坐标始终经过的定点坐标_。 4、在反比例函数、在反比例函数 k y x 上存在点上存在点C，以点，以点C为圆心，为圆心，1 为半径画圆，圆上存在两点到为半径画圆，圆上存在两点到O点 距离为 点 距离为 2，则，则k的取值范围的取值范围_ 5、 已知直线、 已知直线MANB、均与线段均与线段MN为直径的半圆相切， 直线为直径的半圆相切， 直线AB与半圆相切于点与半圆相切于点F，P在 线段 在 线段MN上且上且PFMN，当直线，当直线AB变化时，求变化时，求 +PA PB AB 的最大值的最大值 6、在、在 1,2,3,39,40 数列中能找出数列中能找出_对数字使它们的差的绝对值为质数。对数字使它们的差的绝对值为质数。 y x P A BO 5 1 3 1 1 解答题：解答题： 1、已知在、已知在BAC的内部存在一点的内部存在一点M，在不画出，在不画出A点的情况下过点的情况下过M点作一条直线，使它 经过 点作一条直线，使它 经过A点。点。 2、设、设 12 xx、为为 2 20xpxp的两根，的两根，p为实数为实数 求证：求证： 2 12 230pxxp 当当 12 23xxp时，求时，求p的最大值的最大值 3、实数、实数 12n aaa、满足：满足： 12 =0 n aaa 12 1 n aaa 求证：求证：k个数个数123kn（， ， ，）， 12 1 2 k aaa 4 、 锐 角、 锐 角ABC中 ，中 ，ADBECF，分 别 为分 别 为 BCACAB，边上的高， 设边上的高， 设BCa，ACb， ABc，BDx，ECy，AFz 用 用abc、 、表示表示x 当 当abc、 、满 足 什 么 关 系 时 ， 有满 足 什 么 关 系 时 ， 有 2()xyzabc M E F D BC A （2 ） 2015 年复旦附中自招数学试卷 2015 年复旦附中自招数学试卷 一、一、 填空： 1. 填空： 1. 已知实数已知实数x，y，z满足满足4xy，|1|29zxyy，则，则32xyz 。 2. 。 2. 抛物线抛物线 2 yaxbxc与与x轴交于轴交于A、B两点，与两点，与y轴交于点轴交于点C，若，若ABC是直角 三角形，则 是直角 三角形，则ac的值等于 的值等于 。 3. 。 3. 如图如图ABC是直角三角形，是直角三角形， 1 S， 2 S， 3 S 为正方形， 已知为正方形， 已知a，b，c分别是分别是 1 S， 2 S， 3 S的边长，则的边长，则a，b，c满足的关系式 为 满足的关系式 为 。 4. 。 4. 若满足关于若满足关于x的不等式组的不等式组 12 5 2 xx xa 或 的整数解只有的整数解只有2一个，则实数一个，则实数a的取值范 围为 的取值范 围为 。 5. 。 5. 已知关于已知关于x的方程的方程 2 1210axxa的根都是整数，则满足条件的整数的根都是整数，则满足条件的整数a的 值为 的 值为 。 6. 。 6. 如图，在如图，在Rt ABC中，中，3AC ，4BC ，点，点D为斜边为斜边AB上 的一个动点，过 上 的一个动点，过D作作DEBC，DFAC，垂足分别为，垂足分别为E、 F，则线段，则线段EF长度的最小值为 长度的最小值为 。 7. 。 7. 从从1到到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于100，则可有 ，则可有 种不同的取法。 8. 种不同的取法。 8. 已知已知 1 x， 2 x， 3 x， ， ， n x中每一个数值只能取中每一个数值只能取2，0， 1中的一个，且满足中的一个，且满足 12 17 n xxx ， ， 222 12 37 n xxx，则，则 333 12 = n xxx 。 。 S3 S2 S1 C A B F E D AC B 1 2 BC A 9.9. 如图，半径分别为如图，半径分别为1和和2的两个圆外切，且两圆 与等腰三角形 的两个圆外切，且两圆 与等腰三角形ABC的两腰的两腰AB和和AC都相切， 则 都相切， 则ABC的面积为 的面积为 。 10. 。 10. 如图，如图，ABCDE是正五边形，已知是正五边形，已知1AG ，则，则 FGJHCD 。 二、 。 二、 解答题： 11. 解答题： 11. 如图，如图，ABC内接于圆内接于圆O，ABBC，AOBC，垂足为，垂足为D。 求证： 。 求证：ABC是等边三角形； 若 是等边三角形； 若1AB ，P是劣弧是劣弧BC上的动点 （点上的动点 （点P与与B、C不重合） ，不重合） ，PA交交BC于点于点E， 设 ， 设AEx，EPy，求，求y关于关于x的函数关系式，并写出自变量的函数关系式，并写出自变量x 取值范围； 在的前提下， 令 取值范围； 在的前提下， 令PAC，APC， 当， 当y取何值时，取何值时， 22 sinsin1。 12. 。 12. 定义定义 x表示不超过表示不超过x的最大整数，如的最大整数，如2.32，0.41 。 若 。 若04x，解方程：，解方程： 2 20xxx； 求所有的实数 ； 求所有的实数x，使得，使得 3 43xx 。 。 E D CB O A P J I H GF B CD E A